Johannisnacht und Wissenschaft bei Feuer

Heute Abend beginnt die Feierlichkeit der Sommer-Sonnenwende: die Johannisnacht, die Nacht der Lagerfeuer, Fackeln, Knaller, Böller und Feuerwerke... ¡Aber Vorsicht mit dem Feuer!

Johannisnacht in Barcelona

Erfahren Sie, wie vier Festgäste ein Problem mit dem Feuer zu lösen versuchten .......

Ein Pfarrer, eine Physikerin, ein Maschinenbauingenieur und ein Mathematiker befinden sich im letzten Stockwerk eines in Flammen aufgehenden Gebäudes.
Der einzige Ausweg um vor der Hitze nicht umzukommen, ist aus dem Fenster in das Schwimmbecken auf der Dachterrasse des nächsten und etwas niedrigeren Gebäudes zu springen.... ¡Der Sprung ist allerdings nicht leicht!

Der Pfarrer setzt sich auf dem Fenstersims, betet und springt ab.... Er landet im Schwimmbecken, knapp einige Zentimeter von der Schwimmbeckenkante entfernt.

Die Physikerin schätzt die Windgeschwindigkeit, den waagrechten Abstand zwischen Fenster und Schwimmbeckenmitte, den Höhenunterschied zwischen Fenster und Schwimmbecken, berechnet die Flugbahn, indem sie alle Rechenschritte mit einem Bleistift auf der Wand notiert, und bestimmt somit die notwendige Anfangsgeschwindigkeit und den idealen Absprungwinkel, um in der Mitte des Schwimmbeckens zu landen. Rennt dann vor, um den notwendigen Impuls zu gewinnen, springt ab und landet im Schwimmbecken, knapp einige Zentimeter von der Schwimmbeckenkante entfernt.

Der Maschinenbauingenieur reißt ein Brett aus dem Fußboden, schätzt die Elastizität des Holzbretts, befestigt das Brett am Fenster und benützt die Daten der Physikerin um seine eigene Berechnungen zu machen - sind allerdings etwas länger als die der Physikerin und braucht dafür eine ganze Wand. Er steigt zuletzt auf das Brett, springt ab und landet im Schwimmbecken, knapp einige Zentimeter von der Schwimmbeckenkante entfernt.

Der Mathematiker verfügt nun über die Daten der Physikerin und des Maschinenbauingenieurs und durchführt seine eigene Berechnungen... notiert auf einer Wand,.... zwei Wände, ..... drei Wände ....., steigt dann auch auf das Brett, das am Fenster befestigt wurde, springt ab ................ aber wo ist er gelandet? Man kann ihn nicht sehen! ...... Was ist geschehen?

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Ein Vorzeichenfehler!


Gelesen im Blog von ZTFNews.org und hier frei übersetzt.

Gute Noten und Wasser

Wir nähern uns dem Schulkursende und viele von euch haben schon fast alle Klassenarbeiten hinter sich. 
Einige haben sogar sehr gute Noten geschafft - ich gratuliere euch dazu!

Andere werden diese Woche die letzte Mathe- und/oder Physik-Klausur schreiben - Kopf hoch! Ihr habt gelernt und geübt. 

Außerdem könnt ihr laut einer unlängst veröffentlichten Studie (von der jetzt sehr viel gesprochen wird) die Noten mit einem einfachen und gesunden Hilfsmittel bessern: Wasser. 

Bessere Noten ohne zusätzlich lernen!?

Ja, die Forscher um den Studienleiter Chris Pawson von der University of East London haben das Verhalten von 447 Studenten in unterschiedliche Prüfungen untersucht und dabei ihre Leistung in Abhängigkeit davon, ob diese etwas zu trinken mitbrachten oder nicht. Der Knaller der Ergebnisse dieser Studie ist eine bemerkenswerte Korrelation:

Wer Wasser zu den Prüfungen mitnimmt, schneidet in den Klausuren besser ab und dafür könnte es sogar schon ausreichen, einfach Wasser dabei zu haben, ohne etwas davon zu trinken.

Laut der Meinung des Studienleiters gibt es psychologische und physiologische Gründe dafür:

das Trinken von Wasser könnte einen positiven Effekt auf die Denkfähigkeit haben und selbst die bloße Anwesenheit der Wasserflasche könnte schon eine stressabbauende und beruhigende Wirkung haben.

Die Wissenschaftler registrierten allerdings nur die erreichten Noten und ob die Studenten Wasser bei der Prüfung hatten, aber nicht ob sie viel Wasser oder überhaupt etwas tranken.... 

Und ich nehme an, folgende Möglichkeit wurde auch nicht registriert!

Weitere Studien sind notwendig, um von einer eindeutigen Kausalität zu sprechen, wie auch der Studienleiter zugibt (mehr Informationen über die Studie bei den News der University of East London). 

Ihr könnt natürlich trotzdem zunächst diesen Hilfsmittel versuchen: allerdings besser ohne Spickzettel!

Spickzettel sind aufwändig und der Lehrer kann ihn leicht erwischen!

Anmerkung: Es ist nicht unbedingt eine schlechte Idee, sich eins zu machen, weil man durch das anfertigen eines Spickzettels gezwungen ist, das Thema sinnvoll zusammenzufassen und dabei das Wesentliche lernt. Deswegen braucht man ihn oft gar nicht mehr bei der Prüfung! 

Vor der Prüfung

KOPF HOCH, DU SCHAFFT ES!

Und hier einige Tipps für die letzten 24 Stunden vor der Prüfung, um ganz fit zu sein:

• Am letzten Tag vor der Prüfung ist es am sinnvollsten, nichts Neues zu lernen und das Gelernte ruhen und sacken lassen. Am besten entspannst Du dich am letzten Tag vor der Prüfung, indem Du dich z. B. mit einem beliebten Hobby beschäftigst und gehe nur, wenn Du noch etwas Wiederholung brauchst, das gelernte Stoff nochmal kurz durch. Bedenke, dass das neue Wissen Zeit braucht, um sich im Gedächtnis zu setzen und man kann im letzten Moment sehr schlecht neue Inhalte mit vorhandene Kenntnisse verknüpfen und sich deshalb auch die Prüfungsnervosität leicht steigern lässt.

• Schlafe genug (mindestens 7 Stunden) die Nacht vor der Prüfung.

• Stehe am Prüfungstag früh genug auf: das Gehirn braucht mindestens 2 Stunden um völlig wach und leistungsfähig zu sein. Ein morgenlicher Spaziergang oder ein bisschen Gymnastik können die Sauerstoffzufuhr im Gehirn anregen und ein gesundes Frühstück mit reichlich Kohlenhydraten und wenig Kaffee sollte dann auch die notwendige Energiezufuhr für die bevorstehende Denkarbeit decken.

• Wenn Du dann vor Prüfungsbeginn mit deine Mitschüler vor Ort bist, errege nicht unnötig dein Gemüt mit Fragen oder Spekulationen über mögliche Klausurthemen. Schotte dich ab und lass dich von keiner kollektiven Panik anstecken.

• Falls sich trotz aller Maßnahmen ein Panikgefühl anschleicht, hilft es sich auf einem regelmäßigen tiefen Atmen zu konzentrieren und an ein angenehmes Erlebnis oder ein schönes Vorhaben nach der Prüfung zu denken.  

Können und Glück um zu bestehen

Unvorhersehbare Umstände und Zufälle tauchen oft in jedem Leben auf. Aber mit minimale Stochastikkenntnisse kann man zum Glück Risiken und Chancen gut schätzen.
Aber können Wahrscheinlichkeitsrechnungen bzw. Schätzungen auch zweckdienliche Aussagen für die Vorbereitung auf einer Klausuren bieten?
Das können wir hier an Hand von zwei Beispielen untersuchen und dabei die eigenen Kenntnisse über elementare Wahrscheinlichkeitsrechnungen testen:

Beispiel 1:
Die drei besten Physik-Studenten des Jahrgangs stehen kurz vor ihrer Abschlussprüfung. Sie fühlen sich auf die Prüfung sehr gut vorbereitet und entscheiden am Abend vorher zu feiern und nicht mehr an die Prüfung zu denken.
Es kommt, wie es kommen muss und alle 3 verschlafen am nächsten Morgen und schaffen es nicht mehr rechtzeitig zur Prüfung. Sie treffen sich vor dem Universitätsgebäude und überlegen, wie sie nun aus dieser schwierigen Lage herauskommen könnten. Sie wissen, dass sie aufgrund ihrer hervorragenden Leistungen beim Professor hoch im Kurs stehen und wollen versuche, ihn mit einer guten Ausrede zu überzeugen, dass sie die Prüfung wiederholen dürfen.
Nach kurzem überlegen entscheiden sie sich für die klassische Ausrede, dass sie eine Reifepanne auf dem Weg zur Uni gehabt hätten, sodass sie zu spät gekommen sind. Das tragen sie dem Professor vor und er ist tatsächlich bereit den 3 Studenten eine zweite Chance zu geben, obwohl sie sofort nachschreiben müssten. Die 3 Studenten willigen ein und freuen sich sehr über die Güte des Professors.
Nach 15 Minuten wird jeder in ein Extraraum gesetzt und bekommt den Prüfungsbogen, der nur zwei Fragen beinhaltet. Eine erste Frage die 30 Punkte zählt und folgende Frage die 70 Punkte zählt:
An welchem Reifen hatten Sie heute morgen eine Panne?

Tja....dumm gelaufen (oder nicht?), denn um die Prüfung zu bestehen, muss man mindestens 50 Punkte erreichen!
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei den gleichen Reifen nennen?

* 1 / 64
* 1 / 16
* 1 / 4
* 1 / 3

(HIER klicken für Berechnungsdetails und Kommentare)

Beispiel 2:
Paul hat nicht genug Zeit, um sich für alle 6 Themen der Matheklausur gut vorzubereiten. Er überlegt jetzt, ob er doch nicht nur einfach 3 der sechs Themen durcharbeiten soll, da die Klausur ja auch nur aus eine Aufgabe zu je zwei von den 6 Mathethemen bestehen wird. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass in der Klausur mindestens eine Aufgabe zu den Themen, die Paul gelernt hat, gestellt wird und Paul somit die Möglichkeit hat die Klausur zu bestehen?

* 50%
* 25%
* 80%
* 75%

(HIER klicken für Berechnungsdetails und Kommentare)


Um elementare Kenntnisse über Wahrscheinlichkeitsrechnung und Stochastik zu erweitern bzw. erfrischen, könnte folgendes interessant bzw.  behilflich sein:

Buch: Wenn Gott würfelt oder Wie der Zufall unser Leben bestimmt von Leonard Mlodinow Ein unterhaltsames und lehrreiches Buch über die Welt der Wahrscheinlichkeit und häufige Irrtümer (Niveau: ab Oberstufe)
Kurs: Brinkmann's Einführung in die Stochastik (Niveau: Oberstufe)	Online Kurs anzeigen
Wahrscheinlichkeitsrechnung: Formelsammlung und Zusammenfassung der wichtigsten Definitionen mit Beispiele (Niveau: Oberstufe)	Ingo-Bartling-Seite anzeigen
Elementare Wahrscheinlichkeitstheorie zusammengefasst	dh-Lernmaterialien anzeigen
Präsenzkurs bzw. Nachhilfe bei CSI (Niveau ab 9. Klasse)	Kontakt

Griechische Buchstaben in der Mathematik und Physik

In der Mathematik und Physik werden oft griechische Buchstaben für die Bezeichnung von Parametern und Konstanten benützt.
Hier können Sie eine kleine Hilfe finden, die das Vertrautsein mit diesen Buchstaben erleichtert:

Griechische Buchstaben		Aussprache	Lautmalerei
Groß	Klein
Α	α	Alpha
Β	β	Beta
Γ	γ	Gamma
Δ	δ	Delta
Ε	ε	Epsilon
Η	η	Eta
Θ	ϑ	Theta
Κ	κ	Kappa
Λ	λ	Lambda
Μ	μ	Mü
Ν	ν	Nü
Π	π	Pi
Ρ	ρ	Rho
Σ	σ	Sigma
Τ	τ	Tau
Υ	υ	Ypsilon
Φ	φ	Phi
Χ	χ	Chi
Ψ	ψ	Psi
Ω	ω	Omega

Wie kann ich meine Mathe-Noten verbessern?

Versuche mal deine Hausaufgaben regelmäßig zu erledigen und am besten gleich an dem Tag, an dem man sie aufgibt, da dann die Zusammenhänge noch frisch in Erinnerung sind.

Gehe dabei in drei Schritten vor:

• Nimm dein Mathe-Heft/-Hefter und verbessere die letzte Hausaufgabe, wenn diese fehlerhaft war.
• Überprüfe deine letzte Mathenotizen: 
• Präge dir die neuen Begriffe gut ein und lerne die neue Merksätze auswendig.
• Vergleiche gegebenenfalls mit dem passenden Kapitel im Buch.
• Arbeite alle Beispielaufgaben gründlich durch. Wenn du etwas nicht verstanden hast, schreibe deine Fragen am Notizenrand und stelle sie bei der nächsten Matheaufgabenbesprechung.
• Erledige jetzt die neuen Hausaufgaben

........... und wenn du die Hausaufgabe nicht lösen kannst, dann:

• Rechne die Musteraufgaben der letzten Stunde noch einmal auf einem Blatt und lies gegebenenfalls das passende Kapitel im Buch
• Dann rechne so weit wie du kommst mit der neuen HA und wenn du sie nicht völlig lösen kannst, schreibe deine Frage in dein Heft, damit dir dein Lehrer in der nächsten Stunde helfen kann.

Mehrdeutigkeit bei der Abbildung dreidimensionaler Körper und Training des räumlichen Vorstellungsvermögen

Nicht jeder kann leicht die Lage eines Objektes im Raum auf ein Blatt Papier perspektivengetreu wiedergeben oder umgegekehrt anhand von maßstabs- und proportionsgetreuen zweidimensionalen Zeichnungen die Lage des Objekts im dreidimensionalen Raum erkennen.
Dafür braucht man künstlerische Fähigkeiten und eine gute räumliche Vorstellungskraft, die man auch mit etwas Übung steigern kann. Das Letztere werden wir heute hier ein bisschen versuchen unter Anwendung einiger Hilfsmittel der analytischen Geometrie (ein Koordinatensystem und Koordinaten zur eindeutigen Bezeichnung der Lage im Raum von Punkten).

Bei jeder zweidimensionalen Abbildung eines dreidimensionalen Körpers verliert man etwas Information, auch wenn die Zeichnung perfekt erstellt wurde. Dieser Informationsverlust kann Mehrdeutigkeiten bzw. optische Täuschungen verursachen. Die Abbildung eines durchsichtigen Würfels lässt zum Beispiel zwei Interpretationen zu:

Bei einer Sichtweise blicken wir von oben rechts (die grüne Würfelseite ist in diesen Fall die hintere Seite des Würfels) und bei der anderen von unten links auf den Würfel (die grüne Seite ist nun die vordere Seite des Würfels).
Es fällt einem nicht immer leicht, von einer Sichtweise in die andere umzuschalten.
Diese zwei Sichtweisen erkennt man vielleicht etwas besser, wenn der Würfel nur halbdurchsichtig ist:

Vorderseite: weiß - Hinterseite: grün                                   Vorderseite: grün - Hinterseite: weiß
Die punktierte Linien deuten verdeckte Kanten an.

und noch viel besser, wenn man den Würfel bzw. Einheitswürfel in ein rechtwinkliges Koordinatensystem plaziert und die Koordinaten einiger seiner Eckpunkte angibt:

Vorderseite: weiß - Hinterseite: grün                                         Vorderseite: grün - Hinterseite: weiß
Der Eckpunkt (000) liegt hinter der                                            Der rot eingetragene Diagonalvektor
halbdurchsichtigen weißen Vorderseite                               geht vom Urspung (000) zum Punkt (111)

Hier ein weiteres Beispiel, das sich auf dem selben Problem des Informationsverlustes basiert:

Man kann in diesem Fall ein oder zwei Würfel erkennen:

Koordinatenachsen, Koordinaten der Punkte und punktierte Hilfslinien erleichtern die Veranschaulichung eines dreidimensionalen Körpers in einer zweidimensionalen Zeichnung und entfernen Mehrdeutigkeiten. Sie ersparen aber einem nicht unbedingt das Weitertrainieren für ein besseres räumliches Vorstellungsvermögen. 

Weitere interaktive Trainingsübungen zum räumlichen Vorstellungsvermögen und zur Einführung in die analytische Geometrie kannst du auf der Blog-Seite Lin. Algebra Sek. II (Tabelle 2, Zeile 1) finden.

Zum Abschluss noch zwei lustige Bilder zu zweideutige Konstruktionen:

Durch die Perspektive getäuscht