Mehrdeutigkeit bei der Abbildung dreidimensionaler Körper und Training des räumlichen Vorstellungsvermögen

Nicht jeder kann leicht die Lage eines Objektes im Raum auf ein Blatt Papier perspektivengetreu wiedergeben oder umgegekehrt anhand von maßstabs- und proportionsgetreuen zweidimensionalen Zeichnungen die Lage des Objekts im dreidimensionalen Raum erkennen.
Dafür braucht man künstlerische Fähigkeiten und eine gute räumliche Vorstellungskraft, die man auch mit etwas Übung steigern kann. Das Letztere werden wir heute hier ein bisschen versuchen unter Anwendung einiger Hilfsmittel der analytischen Geometrie (ein Koordinatensystem und Koordinaten zur eindeutigen Bezeichnung der Lage im Raum von Punkten).

Bei jeder zweidimensionalen Abbildung eines dreidimensionalen Körpers verliert man etwas Information, auch wenn die Zeichnung perfekt erstellt wurde. Dieser Informationsverlust kann Mehrdeutigkeiten bzw. optische Täuschungen verursachen. Die Abbildung eines durchsichtigen Würfels lässt zum Beispiel zwei Interpretationen zu:

Bei einer Sichtweise blicken wir von oben rechts (die grüne Würfelseite ist in diesen Fall die hintere Seite des Würfels) und bei der anderen von unten links auf den Würfel (die grüne Seite ist nun die vordere Seite des Würfels).
Es fällt einem nicht immer leicht, von einer Sichtweise in die andere umzuschalten.
Diese zwei Sichtweisen erkennt man vielleicht etwas besser, wenn der Würfel nur halbdurchsichtig ist:

Vorderseite: weiß - Hinterseite: grün                                   Vorderseite: grün - Hinterseite: weiß
Die punktierte Linien deuten verdeckte Kanten an.

und noch viel besser, wenn man den Würfel bzw. Einheitswürfel in ein rechtwinkliges Koordinatensystem plaziert und die Koordinaten einiger seiner Eckpunkte angibt:

Vorderseite: weiß - Hinterseite: grün                                         Vorderseite: grün - Hinterseite: weiß
Der Eckpunkt (000) liegt hinter der                                            Der rot eingetragene Diagonalvektor
halbdurchsichtigen weißen Vorderseite                               geht vom Urspung (000) zum Punkt (111)

Hier ein weiteres Beispiel, das sich auf dem selben Problem des Informationsverlustes basiert:

Man kann in diesem Fall ein oder zwei Würfel erkennen:

Koordinatenachsen, Koordinaten der Punkte und punktierte Hilfslinien erleichtern die Veranschaulichung eines dreidimensionalen Körpers in einer zweidimensionalen Zeichnung und entfernen Mehrdeutigkeiten. Sie ersparen aber einem nicht unbedingt das Weitertrainieren für ein besseres räumliches Vorstellungsvermögen. 

Weitere interaktive Trainingsübungen zum räumlichen Vorstellungsvermögen und zur Einführung in die analytische Geometrie kannst du auf der Blog-Seite Lin. Algebra Sek. II (Tabelle 2, Zeile 1) finden.

Zum Abschluss noch zwei lustige Bilder zu zweideutige Konstruktionen:

Durch die Perspektive getäuscht