tag:blogger.com,1999:blog-76319608612800328072024-03-19T05:48:38.310+01:00Mathe&Physik&MehrBlog mit Lernmaterialien, Lerntipps, Knobelaufgaben und Wissenshappen über Mathematik und PhysikCarola Schmidt Iglesiashttp://www.blogger.com/profile/11199404495619110058noreply@blogger.comBlogger40125tag:blogger.com,1999:blog-7631960861280032807.post-30605189386774751212018-09-30T20:59:00.000+02:002018-09-30T20:59:45.986+02:00Training B für ein besseres räumliches Vorstellungsvermögen am Billardtisch - Hast Du die mathematische Frage lösen können?<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjhCyjeEEJU-cFdCugvRHtGB1tnhfpm46nZSVzwLS65FxAlP8yfYEEV7Qx6NwjW4nKnI86bZJIWkjUkokbgotMWvXZi8UL7ahyphenhyphenyeVL2qZmOHGSH5oPpIL5YaPwcz5vKH3bUL1h9EhNPWunH/s1600/Billard4J.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="375" data-original-width="500" height="240" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjhCyjeEEJU-cFdCugvRHtGB1tnhfpm46nZSVzwLS65FxAlP8yfYEEV7Qx6NwjW4nKnI86bZJIWkjUkokbgotMWvXZi8UL7ahyphenhyphenyeVL2qZmOHGSH5oPpIL5YaPwcz5vKH3bUL1h9EhNPWunH/s320/Billard4J.jpg" width="320" /></a></div>
<script src="https://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML" type="text/javascript"> </script>
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Hier kannst Du die Lösung und einen Lösungsweg zur mathematischen Billardfrage B lesen, die in meinen <a href="https://mathe-physik-csi.blogspot.com.es/2018/02/billardtraining-raeumliches-vorstellungsvermoegen.html" target="_blank">vorigen Blogeintrag</a> gestellt wurde.<br />
<br />
So lautete die Frage B:<br />
<br />
Die Lage der Kugeln in Abb. 2 scheint symmetrisch zu sein. Jan und Krista vermuten daher, dass der ideale Stoßpunkt sich in der Mitte der rechten Innenbande befindet. Könntest Du das überprüfen und die exakte Lage des Stoßpunktes mathematisch herleiten, damit die weiße Kugel die rote nach dem Abprallen von der rechten Innenbande trifft?<br />
<table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left; margin-right: 1em;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiLB_VqFnlqz0woIBgJNpYx2oUCIm6oyv__QibbXcIQQnn6Ht_7DwzxyuvQpMpiLKpI91dHG40Dt40f8lL_Z-sMPPnVoyoO9ctdYqFde5BTa_lQYyjSbG6yBmb0hq6bNDYIF3CUkpKzlsu7/s1600/TischOhneTaschenZweiKugeln-UeberEineBande.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="866" data-original-width="460" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiLB_VqFnlqz0woIBgJNpYx2oUCIm6oyv__QibbXcIQQnn6Ht_7DwzxyuvQpMpiLKpI91dHG40Dt40f8lL_Z-sMPPnVoyoO9ctdYqFde5BTa_lQYyjSbG6yBmb0hq6bNDYIF3CUkpKzlsu7/s400/TischOhneTaschenZweiKugeln-UeberEineBande.jpg" width="211" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="font-size: 12.8px; text-align: center;">Abb. 2 - Billardstoß ohne Effet über eine Bande </td></tr>
</tbody></table>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><img src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi7WtFVqst79zcOwvBX4emW4GalnEtIhCpHEtgujvRekMfN0AHCSLc3wMGytBGv1YoRIRevPIBg2C1odRChpg3MuA7_80zIMS747-zLhDO7h1U05OYcIKHH168S8ZyhoxEJJvhb__qo0wkk/s400/TischKoordinaten.jpg" style="margin-left: auto; margin-right: auto;" /></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Abb.3 - Abb. 6 - Billardtisch mit<br />
<div style="font-size: 12.8px;">
Koordinatensystem und relevante Punkte </div>
</td></tr>
</tbody></table>
<br />
Dafür kann man die Spielfläche samt Kugeln in ein Koordinatensystem übertragen und z. B. folgende Koordinatenpunktwerte für die Tischecken berücksichtigen (s. Abb. 3), da normaler Weise ein Billardtisch doppelt so lang wie breit ist.<br />
<br />
Im mathematischen Modell sollen auch folgende Bedingungen gelten:<br />
<ul>
<li>Die Spielfläche ist exakt eben und die Kugel wird zentral angespielt. Die Kugel bewegt sich folglich geradlinig und ändert ihre Bewegungsrichtung entsprechend dem Reflexionsgesetz (Abb. 4), nachdem sie elastisch gegen eine Bande stößt.</li>
<li>Die Reibung zwischen Kugel und Tisch wird zur Vereinfachung vernachlässigt. Wir müssen uns folglich nicht darum kümmern, ob sie vorzeitig zum Stehen kommt.</li>
<li>Die Kugeln werden zu Punkte reduziert, da auch kein Effet zu berücksichtigen ist.</li>
</ul>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhBAekDJVtXsVTAv-nBvP77KY0PEqozp58K1VBT_I7x7DVAL-G4zTvr4MzcNRU03Yf5QOzuteA1RqzUcNoh2Kc3xUdQzoorebzsqXFY1FSWc_MV6NjZrfco6t1os6d9QrOcYdih13E9o3t5/s1600/Reflexionsgesetz.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="230" data-original-width="310" height="148" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhBAekDJVtXsVTAv-nBvP77KY0PEqozp58K1VBT_I7x7DVAL-G4zTvr4MzcNRU03Yf5QOzuteA1RqzUcNoh2Kc3xUdQzoorebzsqXFY1FSWc_MV6NjZrfco6t1os6d9QrOcYdih13E9o3t5/s200/Reflexionsgesetz.jpg" width="200" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Abb. 4 - Reflexionsgesetz</td></tr>
</tbody></table>
<div>
<br /></div>
Die Vorgehensweise zur Berechnung des Stoßpunktes an der x=1 Bande (linke Innenbande) ist frei auswählbar (je nach Lernstand):<br />
<ul>
<li>Ab der 9. Klasse: Mit Hilfe der linearen Funktionsgleichungen zweier Geraden</li>
<li>Ab der 11. Klasse: Optional mit Hilfe von Vektorgleichungen</li>
</ul>
<br />
<b>LÖSUNGSWEG mittels linearer Funktionsgleichungen</b><br />
<div>
<br /></div>
<div>
Aus der Abbildung 3 lässt sich einerseits ablesen, dass die Koordinaten für die weiße Kugel<br />
$$P_w=\left(\frac{2}{3};\frac{2}{3}\right)$$<br />
und für die rote Kugel<br />
$$P_r=\left(\frac{1}{3};\frac{4}{3}\right)$$<br />
lauten.<br />
<br />
Eine der Bedingungen legt anderseits fest, dass die Kugel geradlinig verläuft. Wir können also ihren Laufweg vor und nach dem Abprallen an der rechten Innenbande jeweils durch lineare Funktionen mit folgender allgemeinen Form beschreiben:<br />
<div style="text-align: center;">
<div style="text-align: left;">
$$f_1(x) = y = m_1x +b_1$$ und<br />
$$f_2(x) = y = m_2x +b_2$$</div>
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
wo m<span style="font-size: xx-small;">1</span>, m<span style="font-size: xx-small;">2</span>, b<span style="font-size: xx-small;">1</span> und b<span style="font-size: xx-small;">2</span> durch die zu erfüllende Bedingungen des gewünschten Laufwegs bestimmt werden:<br />
A) die erste lineare Funktion f<span style="font-size: xx-small;">1</span> beschreibt den Weg vom Ausgangspunkt (2/3; 2/3) der weißen Kugel bis zum Punkt (1; B) der Bande, dessen y-Koordinate noch nicht bekannt ist.<br />
B) Die zweite lineare Funktion f<span style="font-size: xx-small;">2 </span>beschreibt den Laufweg der Kugel von der Bande bis zur roten Kugel und der Graph von f<span style="font-size: xx-small;">2</span> verläuft folglich durch die Punkte (1; B) und (1/3; 4/3), wenn der Billardstoß über eine Bande erfolgreich ausgeführt wird.<br />
C) Da zentral angespielt wird und das Reflexionsgesetz gelten soll, sind Einfallswinkel und Reflexionswinkel gleich groß und folglich ist auch m<span style="font-size: xx-small;">2</span> = - m<span style="font-size: xx-small;">1 </span>. Wir können also auch unsere Bezeichnung vereinfachen und schreiben im folgenden m statt m<span style="font-size: xx-small;">1</span>. <br />
<br />
Für den ersten Teil des Laufwegs ergibt sich somit folgende zwei Gleichungen:<br />
$$\begin{eqnarray}<br />
\frac{2}{3}& = &\frac{2}{3}m+b_1 && \mbox{(Gl. 1)} \\<br />
B &=& m+b_1 && \mbox{(Gl. 2)}<br />
\end{eqnarray}$$<br />
und für die zweite Teilstrecke:<br />
$$\begin{eqnarray}<br />
B &=& -m+b_2 && \mbox{(Gl. 3)} \\<br />
\frac{4}{3}& = & -\frac{1}{3}m+b_2 && \mbox{(Gl. 4)}<br />
\end{eqnarray}$$<br />
<br />
Wir haben also einen Gleichungssystem mit 4 lineare Gleichungen und 4 Unbekannte b<span style="font-size: xx-small;">1</span>, b<span style="font-size: xx-small;">2</span>, m, B, das wir für eine bessere Übersicht folgendermaßen umformen und anschließend mit Hilfe der Eliminationsmethode lösen können:<br />
$$\begin{eqnarray}<br />
b_1 &+& 0 b_2 &+& \frac{2}{3}m &+& 0 B &=& \frac{2}{3} && \mbox{(Gl. 1')} \\<br />
b_1 &+& 0 b_2 &+& m &-& B &=& 0 && \mbox{(Gl. 2')} \\<br />
0 b_1 &+& b_2 &-& m &-& B &=& 0 && \mbox{(Gl. 3')} \\<br />
0 b_1 &+& b_2 &-& \frac{1}{3}m &+& 0B &= & \frac{4}{3} && \mbox{(Gl. 4')}<br />
\end{eqnarray}$$<br />
<div>
<br /></div>
Von der Gleichung (2') subtrahieren wir Gleichung (1'), um die Unbekannte b<span style="font-size: xx-small;">1</span> zu eliminieren und dann von der Gleichung (3') subtrahieren wir die Gleichung (4'), um die Unbekannte b<span style="font-size: xx-small;">2</span> zu eliminieren. Daraus folgt:<br />
$$\begin{eqnarray}<br />
\frac{1}{3}m - B & = & -\frac{2}{3} && \mbox{(Gl. 5)} \\<br />
-\frac{2}{3}m - B & = & -\frac{4}{3} && \mbox{(Gl. 6)}<br />
\end{eqnarray}$$<br />
<br />
Jetzt subtrahieren wir Gleichung (6) von Gleichung (5) und erhalten:<br />
$$ m = \frac{2}{3}$$<br />
Durch Einsetzen von m in eine der Gleichungen, z. B. in Gleichung (6), wird die gesuchte Unbekannte B berechnet:<br />
$$B = -\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}+\frac{4}{3} = \frac{8}{9}$$<br />
<br />
Nun können wir mit mathematischer Sicherheit behaupten, dass der anzuspielende Punkt an der Bande (1; 8/9) und nicht (1; 1) sein muss, damit die weiße Kugel nach dem Abprallen die rote Kugel mittig trifft.<br />
Wir haben außerdem die Steigung m der Laufwegstrecke berechnet. Demnach können wir auch die richtige Stoßrichtung bzw. den richtigen Einfallswinkel exakt festlegen:<br />
$$\alpha = 90º - \arctan{\frac{2}{3}},$$<br />
der wie in Abb. 4 zwischen dem einfallenden Laufweg der Kugel und der Bande gemessen wird.<br />
<div>
<br /></div>
</div>
</div>
<br />Carola Schmidt Iglesiashttp://www.blogger.com/profile/11199404495619110058noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7631960861280032807.post-28438777721239816802018-02-11T21:11:00.000+01:002018-09-30T21:01:44.743+02:00Training A für ein besseres räumliches Vorstellungsvermögen - Hast Du die geometrische Billard-Frage gelöst?<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi9ExHWktK-WoHK3fZpeVfBNLeVGKq_yvTAcTAOvBmiyYTmPhOY-5WWfUk0Sk7hwCudLNEn8kRsZ7MVt1XS_0i94ZWcv9mqwdWnVuCR6Do4Q4zmC9Y4-9cTvvM1kZwpgWr00hSFzufU8JAI/s1600/Billard4J.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="375" data-original-width="500" height="240" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi9ExHWktK-WoHK3fZpeVfBNLeVGKq_yvTAcTAOvBmiyYTmPhOY-5WWfUk0Sk7hwCudLNEn8kRsZ7MVt1XS_0i94ZWcv9mqwdWnVuCR6Do4Q4zmC9Y4-9cTvvM1kZwpgWr00hSFzufU8JAI/s320/Billard4J.jpg" width="320" /></a></div>
<br />
<br />
<br />
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<br />
<br />
<br />
Hier nochmal kurz die geometrische Fragestellung A zum Billardspiel (mehr Details und eine weitere mathematische Fragestellung B in meinen <a href="https://mathe-physik-csi.blogspot.com.es/2018/02/billardtraining-raeumliches-vorstellungsvermoegen.html" target="_blank">Blogeintrag von letzter Woche</a>):<br />
<br />
<br />
<br />
Jan und Krista wollten sich für ihr zweites Billardspieltreffen etwas vorbereiten und einige einfache Kugelbewegungen ohne Effet explorativ auf einem Blatt Papier untersuchen, um so ihr räumliches Vorstellungsvermögen zu trainieren und ein besseres Auge für die richtige Stoßrichtung zu haben.<br />
<br />
Sie haben bereits vor kurzem die physikalische Hauptgrundlage des Billardspiels kennengelernt - das Reflexionsgesetz -, und möchten nun folgendes klären:<br />
<br />
<b>Fragegruppe A</b>: Wie kann man leicht die richtige Stoßrichtung in folgende drei Fälle ohne Effet herausfinden und auf einen Blatt Papier einzeichnen? Und zwar ohne rumprobieren, so wie ein erfahrener Billardspieler sie gedanklich herausfindet.<br />
<table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left; margin-right: 1em;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"> <a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiLB_VqFnlqz0woIBgJNpYx2oUCIm6oyv__QibbXcIQQnn6Ht_7DwzxyuvQpMpiLKpI91dHG40Dt40f8lL_Z-sMPPnVoyoO9ctdYqFde5BTa_lQYyjSbG6yBmb0hq6bNDYIF3CUkpKzlsu7/s1600/TischOhneTaschenZweiKugeln-UeberEineBande.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="866" data-original-width="460" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiLB_VqFnlqz0woIBgJNpYx2oUCIm6oyv__QibbXcIQQnn6Ht_7DwzxyuvQpMpiLKpI91dHG40Dt40f8lL_Z-sMPPnVoyoO9ctdYqFde5BTa_lQYyjSbG6yBmb0hq6bNDYIF3CUkpKzlsu7/s200/TischOhneTaschenZweiKugeln-UeberEineBande.jpg" width="105" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="font-size: 12.8px; text-align: center;">Fall 1 - Billardstoß über eine Bande</td></tr>
</tbody></table>
<table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left; margin-right: 1em;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"> <a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjfsxuIcIRjGuuekLm7CTIO92kMfVIrLC0H59r-m8GweNldhZO_7RWTGNuMfwXpO0YqwklKuu4EUi9uqsQ9Lj5R83S4-ZDUforrMaLGORezjGE4uTX4hwPI_ZkjtlTWX88LPrVxysnvcvFs/s1600/TischOhneTaschenZweiKugeln-UeberZweiBanden.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="866" data-original-width="460" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjfsxuIcIRjGuuekLm7CTIO92kMfVIrLC0H59r-m8GweNldhZO_7RWTGNuMfwXpO0YqwklKuu4EUi9uqsQ9Lj5R83S4-ZDUforrMaLGORezjGE4uTX4hwPI_ZkjtlTWX88LPrVxysnvcvFs/s200/TischOhneTaschenZweiKugeln-UeberZweiBanden.jpg" width="105" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="font-size: 12.8px; text-align: center;">Fall 2 - Billardstoß über 2 Banden</td></tr>
</tbody></table>
<table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left; margin-right: 1em;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"> <a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgEKgJ7IzmblOp1Cw1zajeEucv2wM9Up7FvI2u2-c0ArHl_z1zKjqll5U_B7oGXXk5cwXOW0Aw8hlsviTD_oJ2yUiPAn_uI0S3CsJM8ojoWSWdQa4lC72E6nIrwc5_jyAACdNwGr_UTpFL0/s1600/TischOhneTaschenZweiKugeln-UeberDreiBanden.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="866" data-original-width="460" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgEKgJ7IzmblOp1Cw1zajeEucv2wM9Up7FvI2u2-c0ArHl_z1zKjqll5U_B7oGXXk5cwXOW0Aw8hlsviTD_oJ2yUiPAn_uI0S3CsJM8ojoWSWdQa4lC72E6nIrwc5_jyAACdNwGr_UTpFL0/s200/TischOhneTaschenZweiKugeln-UeberDreiBanden.jpg" width="105" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="font-size: 12.8px; text-align: center;">Fall 3 - Billardstoß über 3 Banden<br />
<div>
<br /></div>
</td></tr>
</tbody></table>
<br />
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<br />
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<br />
<br />
Hängt der Schwierigkeitsgrad der Realisierung von der Auswahl der Banden? Könnte man vielleicht den Stoß in Fall 3 nicht einfacher über eine andere Bandenreihenfolge realisieren? Warum?<br />
<br />
Hier eine mögliche Vorgehensweise zur Lösung:<br />
<br />
Wir können erstmal von der weißen Kugel aus eine Strecke zu einem beliebigen Punkt im mittleren Bereich der rechten Innenbande zeichnen, den Winkel zwischen dem einfallenden Laufweg und der Innenbande messen und dann den Laufweg nach dem Stoß an der Wand durch Übertragen des gemessenen Winkels einzeichnen. Der Ausfallswinkel ist ja gemäß dem Reflexionsgesetz gleich dem Einfallswinkel.<br />
Da wir es nicht geschafft haben, die rote Kugel mit unserem eingezeichneten Laufweg zu treffen, müssen wir die Stoßrichtung etwas ändern und auf der gleichen Weise den neuen Laufweg nach dem erneuten Abprallen finden.<br />
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgjZEUrWfx0ojbnhlH-tBGmopVn7XhdiUMz1cJEDj3skXkn2omQgFtHqr29hWt0AC47jY36f2wS6hR82Ud9nrVOHBI41PmnPRrKI_Qs43Aenb7OJ7N8BidTmgVDDkUx9VnyrWqNm-5eJ3W0/s1600/Reflexion-EinfallswinkelVariiren.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="352" data-original-width="428" height="263" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgjZEUrWfx0ojbnhlH-tBGmopVn7XhdiUMz1cJEDj3skXkn2omQgFtHqr29hWt0AC47jY36f2wS6hR82Ud9nrVOHBI41PmnPRrKI_Qs43Aenb7OJ7N8BidTmgVDDkUx9VnyrWqNm-5eJ3W0/s320/Reflexion-EinfallswinkelVariiren.jpg" width="320" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Abb.4 - Suche nach dem richtigen Einfallswinkel</td></tr>
</tbody></table>
<br />
Durch systematisches Verändern des Einfallswinkel können wir zuletzt die richtige Stoßrichtung finden.<br />
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhC7gyJ2lUmb65Xj1IPlBhoPHIVjZC7UwhXAALMyqR-HqvN6my3bI-wktaU1_ofoPYYS8hKvXSNB770qcCeZ4440D1qcJoCDtbiBB0YCcEAyadokqGepC_idV9U2k6RJmQGcK6QEV2AQoGq/s1600/Reflexion-EinfallswinkelGefunden.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="325" data-original-width="428" height="242" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhC7gyJ2lUmb65Xj1IPlBhoPHIVjZC7UwhXAALMyqR-HqvN6my3bI-wktaU1_ofoPYYS8hKvXSNB770qcCeZ4440D1qcJoCDtbiBB0YCcEAyadokqGepC_idV9U2k6RJmQGcK6QEV2AQoGq/s320/Reflexion-EinfallswinkelGefunden.jpg" width="320" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Abb. 5 - Jetzt haben wir es geschafft! Der mittlere Laufweg der weißen Kugel trifft die rote Kugel in der Mitte</td></tr>
</tbody></table>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<br />
Wir sind aber mit diesem Verfahren nicht zufrieden. Wir wollten ja ohne rumprobieren die richtige Stoßrichtung finden! Wir müssen also etwas weiter in der Untersuchung vordringen und uns etwas einfallen lassen...<br />
<br />
Nebst dem Reflexionsgesetz haben wir sicherlich schon einige weitere Erkenntnisse der Optik im Physikunterricht der Schulstufen 7/8 gewonnen und vielleicht erinnern wir uns auch noch, wie ein Bild bei einem ebenen Spiegel entsteht:<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjBjr88yC6ujkkdbAywPB_5z2NQEQGziqBhdO7Se4uEmPXlEc0p0TInM6q2hFAJC_oqR6bO4AcBlTDF8Vk6TE2w1tPt92Cc7kraZSgfbaESPMp8J-xfe0qDi10ZqNcvUb9j_eckg1YUBgAV/s1600/BildentstehungBeimEbenenSpiegel.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="570" data-original-width="670" height="340" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjBjr88yC6ujkkdbAywPB_5z2NQEQGziqBhdO7Se4uEmPXlEc0p0TInM6q2hFAJC_oqR6bO4AcBlTDF8Vk6TE2w1tPt92Cc7kraZSgfbaESPMp8J-xfe0qDi10ZqNcvUb9j_eckg1YUBgAV/s400/BildentstehungBeimEbenenSpiegel.jpg" width="400" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Abb.6 - Bildentstehung beim ebenen Spiegel</td></tr>
</tbody></table>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<br />
Wie aus Abbildung 6 ersichtlich ist, werden alle von einem Punkt P auf einen ebenen Spiegel fallende Strahlen gemäß dem Reflexionsgesetz reflektiert und so, als ob sie von einem zu P in Bezug auf dem Spiegel symmetrischen Punkt P' kämen. P' ist das Bild von P, das wir im Spiegel sehen.<br />
<br />
Abbildungen 5 und 6 sind sehr ähnlich, vor allem, wenn wir die divergierende Laufwege der weißen Kugel nach hinten verlängern und am Konvergenzpunkt ein Bild der weißen Kugel denken/einzeichnen:<br />
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgkYu4PDhHZl_Hr7O_R3vurUJXg9sAscqtBJWaFVzRozAONGP5Ba4SjOHtsxK4oiPmCK7QoFj-MgPOEf1ntxSZCZcn5RcBUQd5gC9DTnYYW9HITWeoXCsfbuOPb212DwJJS94OQDTBvWWGq/s1600/Reflexion-Kugelbilder.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="532" data-original-width="428" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgkYu4PDhHZl_Hr7O_R3vurUJXg9sAscqtBJWaFVzRozAONGP5Ba4SjOHtsxK4oiPmCK7QoFj-MgPOEf1ntxSZCZcn5RcBUQd5gC9DTnYYW9HITWeoXCsfbuOPb212DwJJS94OQDTBvWWGq/s400/Reflexion-Kugelbilder.jpg" width="321" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Abb. 7 - Verlängerung nach hinten der divergierende Laufwege und Lage der gedachten Bilder der zwei Kugeln</td></tr>
</tbody></table>
<br />
<br />
Diese Ähnlichkeit ist nicht verwunderlich, da ja beide Abbildungen (Abb. 6 und Abb. 7) das Reflexionsgesetz illustrieren. Der Laufweg ist außerdem umkehrbar (rot soll weiß treffen) und wir können uns dementsprechend auch ein Spiegelbild der roten Kugel denken.<br />
<br />
Mit dieser Erkenntnis können wir die Suche nach der richtigen Stoßrichtung sehr vereinfachen. Man muss sich einfach das Spiegelbild der roten Kugel denken und sie dann anspielen, um die rote Kugel zu treffen. Hier eine Skizze zum Spiel über eine Bande (Fall 1):<br />
<br />
<br />
<table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj0S4c1rmXBughdMpZeMxDJRA9j4iwtzv5kCeagsLSrMR8C3K3OA9B3vuMai4hYiRz11Znve0eFHE05kbZiiTWE7J1-iIBj7DAO_X9f8chVCJMCRRQ0HnkwjYON27YzuUpjzpCKtS6sIYUG/s1600/Billardtisch2Kugeln1Spiegel.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="750" data-original-width="1030" height="233" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj0S4c1rmXBughdMpZeMxDJRA9j4iwtzv5kCeagsLSrMR8C3K3OA9B3vuMai4hYiRz11Znve0eFHE05kbZiiTWE7J1-iIBj7DAO_X9f8chVCJMCRRQ0HnkwjYON27YzuUpjzpCKtS6sIYUG/s320/Billardtisch2Kugeln1Spiegel.jpg" width="320" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Abb.8 - Skizze zur Spiegelung der roten Kugel bei einem senkrecht stehenden Spiegel<br />
und Illustration des Spiels über eine Bande</td></tr>
</tbody></table>
<br />
<br />
Fall 2:<br />
<br />
Um einen Stoß über zwei Banden erfolgreich zu spielen, müssen wir das Spiegelbild der roten Kugel nochmals an der zweiten anzuspielenden Bande spiegeln:<br />
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh3k7Z0iy6nOtUwxarI0qTPKjjeHk09h0uzJP1K8hbjR0nqu59eQtcRTQc-xxJDlLHNZMK1uD0mMkKtadB4ePA23WsBEXQDk7nD1MBvq3fyj2KVj9gCHSN4AIO2-8GHr4dXV5rv62nz_Hr8/s1600/Billardtisch2Kugeln2Spiegel.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="750" data-original-width="1030" height="233" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh3k7Z0iy6nOtUwxarI0qTPKjjeHk09h0uzJP1K8hbjR0nqu59eQtcRTQc-xxJDlLHNZMK1uD0mMkKtadB4ePA23WsBEXQDk7nD1MBvq3fyj2KVj9gCHSN4AIO2-8GHr4dXV5rv62nz_Hr8/s320/Billardtisch2Kugeln2Spiegel.jpg" width="320" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Abb 9 - Skizze zur Spiegelung der roten Kugel an zwei senkrecht stehende Spiegel/Ebenen<br />
und Illustration des Spiels über zwei Banden</td></tr>
</tbody></table>
Diese Spiegelungen können wir leicht zweidimensional zeichnen, indem wir die relevanten Punkte (Kugeln und Ecken der Spielfläche) an die zwei Innenband-Ebenen (Innenband-Linien in unserer zweidimensionalen Draufsicht) spiegeln. Wenn wir anschließend den gewünschten Laufweg über zwei Banden in der Skizze einzeichnen, indem wir die Position der weißen Kugel (W) mit der Position des zweimal gespiegelten Bildes der roten Kugel (R'') verbinden, erhalten wir folgende zweidimensionale Skizze zum Spiel über zwei Banden:<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiOeffwPNx_rFZyfj_ucaMaRtMSqfJYYecWDU0xYyisWaI_vRDhqFjgWM_FO-1Gn9TTW-7ZuE_LRZzP62Ki8J8voFjrhiRJfrOu27R_phIpxuCEChv56rsrzM_eDJTpo14TvMJjB7a8HTHH/s1600/SkizzeKugelbahn_StossUeber2Banden.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="455" data-original-width="400" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiOeffwPNx_rFZyfj_ucaMaRtMSqfJYYecWDU0xYyisWaI_vRDhqFjgWM_FO-1Gn9TTW-7ZuE_LRZzP62Ki8J8voFjrhiRJfrOu27R_phIpxuCEChv56rsrzM_eDJTpo14TvMJjB7a8HTHH/s400/SkizzeKugelbahn_StossUeber2Banden.jpg" width="351" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Abb. 10 - Skizze zum Spiel über zwei Banden</td></tr>
</tbody></table>
Links unten in Abbildung 10 befindet sich die grüne Billardspielfläche, in der wir auch den tatsächlichen Laufweg der weißen Kugel vor ihrem Stoß mit der roten Kugel eingezeichnet haben. Rechts unten liegt das Spiegelbild vom Billardtisch mitsamt Kugeln an der rechten Innenbandebene (mittlere vertikale Gerade in unserer Draufsicht). Im oberen Teil der Skizze finden wir die Spiegelung Wo' und Ro' von W und R an der oberen Innenbandebene und die Bildpunkte W'' und R'', die man durch Spiegelung von Wr' und Rr' an der oberen Innenbandebene (mittlere horizontale Gerade) oder auch durch Spiegelung von Wo' und Ro' an der rechten Innenbandebene erhält.<br />
<br />
Diese Auffaltung des Laufweges in einem Gitter rechteckiger Billardtisch-Spiegelbilder ist auch besonders praktisch für eine graphische bzw. visuelle Untersuchung der verschiedenen Spieloptionen bei einer bestimmten Kugelkonstellation, wie in dem folgenden Fall ersichtlich wird.<br />
<br />
Fall 3:<br />
<br />
Bei einem Spiel über drei Banden können wir die Spiegelbild-basierte Vorgehensweise analog anwenden und erhalten folgende graphische Darstellung des Laufwegs, wenn der erste Abprall an der rechten langen Innenbande erfolgen soll:<br />
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjFx2erykOQTfwH285M_pnhxE4OaB7xu2n9odugu9Glndr8y0K8Zu2NaKfq6pPA35rvI1QTlD9TkvK5XC3gO-5XFSWHCiJsMwhHpV-qt8_KFwAEjNKE1zmHOKWf2o2IsL4LQwRxrJoYIQ8y/s1600/SkizzeKugelbahn_StossUeber3Banden.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="430" data-original-width="370" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjFx2erykOQTfwH285M_pnhxE4OaB7xu2n9odugu9Glndr8y0K8Zu2NaKfq6pPA35rvI1QTlD9TkvK5XC3gO-5XFSWHCiJsMwhHpV-qt8_KFwAEjNKE1zmHOKWf2o2IsL4LQwRxrJoYIQ8y/s400/SkizzeKugelbahn_StossUeber3Banden.jpg" width="343" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Abb. 11 - Skizze zum Spiel über drei Banden</td></tr>
</tbody></table>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<br />
<br />
Aber ist das die beste Auswahl? Könnten wir vielleicht die rote Kugel über andere drei Banden leichter erreichen? Die Gitterdarstellung aller möglichen 3-Bandspiel-Varianten (geradlinige Verbindungen zwischen W und die verschiedene dreifach gespiegelte Punkte R''') erweist sich als sehr nützlich für die Beantwortung dieser Fragen.<br />
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhPLjCevBQw1C602kGNmiazWLiKNpp0sP3kAr2_WZ5_RLZ_fpMi2q1g_8V4d0vje3Gqdpu2j4u1kGndAtBNecE20U_mcNUliJaPZ93Rr1HMOr5KdB1aag_fJHV117F2dmIzZkO8nnYBD1Gc/s1600/SkizzeKugelbahn_StossUeber3Banden-Var.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="793" data-original-width="500" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhPLjCevBQw1C602kGNmiazWLiKNpp0sP3kAr2_WZ5_RLZ_fpMi2q1g_8V4d0vje3Gqdpu2j4u1kGndAtBNecE20U_mcNUliJaPZ93Rr1HMOr5KdB1aag_fJHV117F2dmIzZkO8nnYBD1Gc/s1600/SkizzeKugelbahn_StossUeber3Banden-Var.jpg" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Abb.12 - Gitterdarstellung der 4 möglichen 3-Bandspiel- Varianten (blau).<br />
Für Vergleichszwecke sind auch Laufwege bei einem Spiel über zwei (rot) und eine Bande (grün) dargestellt worden.<br />
Zur besseren Übersicht sind die Rechtecke leicht grün getönt, die gleich wie das ursprüngliche (dunkelgrün) liegen.</td></tr>
</tbody></table>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<br />
<br />
Aus der oberen Skizze können wir schnell entnehmen, dass einige Spielvarianten geometrisch gesehen leichter auszuführen sind. Bei der gegebenen Kugelkonstellation ist z. B. die Spielvariante lange linke (L) - obere kurze (O) - lange rechte (R) (dunkelblauer Laufweg) schwieriger auszuführen als die R-O-L-Variante (hellblauer Laufweg), weil man bei der ersten Variante die gedanklich dreifach gespiegelte rote Kugel R''' sehr leicht mit der einfach gespiegelten Kugel R' verwechsel kann.<br />
Die zwei mittelblaue nach unten gerichtete Laufwege sind theoretisch realisierbar, aber sie zwingen dem Billardspieler eine unbequemere Körperhaltung einzunehmen, die ihm sicherlich verhindert den Stoß gut zu kontrollieren und die angebrachte Kraft aufzuwenden.<br />
Aus Abb. 12 können wir weiterhin entnehmen, dass bei der gegebenen Kugelkonstellation ein L-O-Spiel (dunkel roter Laufweg) nicht realisierbar ist, weil die dazu genötigte Stoßrichtung mit der eines direkten Stoßes der weißen auf der roten Kugel übereinstimmt.<br />
<br />
All diese dargestellte Beispiele zeigen, dass ein trainiertes räumliches Vorstellungsvermögen für die richtige Lokalisierung der Spiegelbilder eine hilfreiche Orientierung für jeden Spieler sind.<br />
<br />
Die Gitterdarstellung ist ein hilfreiches graphisches Lösungsverfahren, aber nicht exakt. Um die Richtung des Anstoßes und den Aufprallpunkt der Kugel an der Bande exakt zu bestimmen, ist eine mathematische Berechnung der Kugelbahn unentbehrlich. Das werden wir im <a href="https://mathe-physik-csi.blogspot.com/2018/09/training-b-fur-ein-besseres-raumliches.html" target="_blank">nächsten Blogeintrag (Training B)</a> durchführen.<br />
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<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
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</ul>
Carola Schmidt Iglesiashttp://www.blogger.com/profile/11199404495619110058noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7631960861280032807.post-67728457272950066032018-02-03T23:45:00.000+01:002018-09-30T21:03:27.818+02:00Training für ein besseres räumliches Vorstellungsvermögen beim Billardspielen - Kannst Du diese Billardfragen lösen?<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgsIdNcmhFY7FUcvut_Y1WBQFJMq0CmA1e7Ot9hP3fH3K9V5W9hUVqacLBNCBw_zczRdjKA0E2IdtAaAsBbCpVgk0pbqf4iq0cmwx2vIXaTTqxgHsFy4KXD9rf8NyYbPosse22_xZUKwqbp/s1600/Billard4J.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="375" data-original-width="500" height="240" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgsIdNcmhFY7FUcvut_Y1WBQFJMq0CmA1e7Ot9hP3fH3K9V5W9hUVqacLBNCBw_zczRdjKA0E2IdtAaAsBbCpVgk0pbqf4iq0cmwx2vIXaTTqxgHsFy4KXD9rf8NyYbPosse22_xZUKwqbp/s320/Billard4J.jpg" width="320" /></a></div>
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Jan und Krista waren gestern im katalanischen Wanderclub und hatten dort die Gelegenheit, einiges über Billardspiele zu lernen:<br />
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<ul>
<li>Es gibt viele <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Billard#Spielarten" target="_blank">Billardspielarten</a></li>
<li>Billardspielen verlangt Geschicklichkeit, Konzentration, ein gut entwickeltes räumliches Vorstellungsvermögen und Übung</li>
<li>Mathematische und physikalische Regeln bringen die Kugeln zu einem wunderschönen Tanz</li>
</ul>
<div>
Hauptsächlich gelten folgende mathematisch-physikalische Gesetzmäßigkeiten:</div>
<div>
<ul>
<li>Wenn man eine Kugel mittig anstößt, dann bewegt sie sich geradlinig und verhält sich beim Abprallen von einer Bande wie ein Lichtstrahl im Spiegel, das heißt, der Abprallwinkel ist gleich dem Einfallswinkel der Kugel.</li>
</ul>
</div>
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjKB-Fa2AMsSXLXBv2mRqMhTyGa21Hm3GHgsPjQxH2V4jJp6loo24hDd7tGRUrdfR3Aqi9t3PsVO0h-S607OTm2saoCfttt_iGLlHVA_cCgsKt7M-Ul_pH-RY5ciMMawQZegMoWroZkRWyE/s1600/Reflexionsgesetz.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="230" data-original-width="310" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjKB-Fa2AMsSXLXBv2mRqMhTyGa21Hm3GHgsPjQxH2V4jJp6loo24hDd7tGRUrdfR3Aqi9t3PsVO0h-S607OTm2saoCfttt_iGLlHVA_cCgsKt7M-Ul_pH-RY5ciMMawQZegMoWroZkRWyE/s1600/Reflexionsgesetz.jpg" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Abb. 2 - Reflexionsgesetz (*)</td></tr>
</tbody></table>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<ul>
<li style="text-align: left;">Wenn man dagegen die Kugel nicht mittig anstößt, dann entstehen Drehungen um Hoch und Querachse und die Kugel kann dann im Bogen rollen und das Reflexionsgesetz nicht befolgen. Man sagt dann die Kugel bewegt sich mit <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Effet" target="_blank">Effet</a> (oder Drall).</li>
</ul>
<div>
* <span style="font-size: x-small;"><b>Anmerkung</b>: In der Physik werden üblicherweise Einfalls- und Reflexionswinkel zum Lot hin gemessen, um so auch die Reflexion an einer krummen Fläche gut beschreiben zu können. Bei einer ebenen Reflexionsfläche, wie die Innenbanden unseres Billardtisches, ist die Winkelmessung zwischen Bande und Laufweg äquivalent und erspart das Einzeichnen des Lotes bei einem graphischen Lösungsweg. </span></div>
<div>
<br />
<br /></div>
Jan und Krista möchten sich für das nächste Mal etwas vorbereiten und einige einfache Kugelbewegungen ohne Effet explorativ auf einem Blatt Papier untersuchen, um so ihr räumliches Vorstellungsvermögen zu trainieren und ein besseres Auge für die richtige Stoßrichtung zu haben.<br />
<br />
"Ein Billardspieler denkt sich die Zielkugel an der Bande gespiegelt und zielt dann präzise auf das gedachte Kugelbild", sagte ein Mitglied des katalanischen Wanderclubs.<br />
<br />
Das möchten Jan und Krista besser verstehen. Sie arbeiten jetzt daran und möchten die Kugelbewegung in drei verschiedene Fälle untersuche, wissen aber noch nicht, wie man leicht - ohne rumprobieren - die richtige Stoßrichtung und den angebrachten Anschlagpunkt an der Bande einschätzen kann.<br />
<br />
A) Kannst Du auf einem Blatt Papier veranschaulichen, wie ein erfahrener Billardspieler die richtige Stoßrichtung in folgende drei Fällen (siehe Abb. 3 bis 5) leicht herausfinden kann?<br />
<br />
Fall 1:<br />
<table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left; margin-right: 1em; text-align: left;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiLB_VqFnlqz0woIBgJNpYx2oUCIm6oyv__QibbXcIQQnn6Ht_7DwzxyuvQpMpiLKpI91dHG40Dt40f8lL_Z-sMPPnVoyoO9ctdYqFde5BTa_lQYyjSbG6yBmb0hq6bNDYIF3CUkpKzlsu7/s1600/TischOhneTaschenZweiKugeln-UeberEineBande.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="866" data-original-width="460" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiLB_VqFnlqz0woIBgJNpYx2oUCIm6oyv__QibbXcIQQnn6Ht_7DwzxyuvQpMpiLKpI91dHG40Dt40f8lL_Z-sMPPnVoyoO9ctdYqFde5BTa_lQYyjSbG6yBmb0hq6bNDYIF3CUkpKzlsu7/s320/TischOhneTaschenZweiKugeln-UeberEineBande.jpg" width="169" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Abb. 3 - Billardstoß ohne Effet über eine Bande</td></tr>
</tbody></table>
<br />
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Die weiße Kugel soll die rote Kugel über die rechte Bande erreichen. Doch welche ist hier die richtige Stoßrichtung und wie findet ein Billardspieler an welcher Stelle die Bande angespielt werden muss?<br />
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Fall 2:<br />
<table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left; margin-right: 1em; text-align: left;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjfsxuIcIRjGuuekLm7CTIO92kMfVIrLC0H59r-m8GweNldhZO_7RWTGNuMfwXpO0YqwklKuu4EUi9uqsQ9Lj5R83S4-ZDUforrMaLGORezjGE4uTX4hwPI_ZkjtlTWX88LPrVxysnvcvFs/s1600/TischOhneTaschenZweiKugeln-UeberZweiBanden.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="866" data-original-width="460" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjfsxuIcIRjGuuekLm7CTIO92kMfVIrLC0H59r-m8GweNldhZO_7RWTGNuMfwXpO0YqwklKuu4EUi9uqsQ9Lj5R83S4-ZDUforrMaLGORezjGE4uTX4hwPI_ZkjtlTWX88LPrVxysnvcvFs/s320/TischOhneTaschenZweiKugeln-UeberZweiBanden.jpg" width="169" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Abb. 4 - Billardstoß ohne Effet über 2 Banden</td></tr>
</tbody></table>
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Die weiße Kugel soll nun die rote Kugel über zwei Banden treffen. Welche ist nun die richtige Stoßrichtung?<br />
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Fall 3:<br />
<table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: right; margin-left: 1em; text-align: right;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgEKgJ7IzmblOp1Cw1zajeEucv2wM9Up7FvI2u2-c0ArHl_z1zKjqll5U_B7oGXXk5cwXOW0Aw8hlsviTD_oJ2yUiPAn_uI0S3CsJM8ojoWSWdQa4lC72E6nIrwc5_jyAACdNwGr_UTpFL0/s1600/TischOhneTaschenZweiKugeln-UeberDreiBanden.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="866" data-original-width="460" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgEKgJ7IzmblOp1Cw1zajeEucv2wM9Up7FvI2u2-c0ArHl_z1zKjqll5U_B7oGXXk5cwXOW0Aw8hlsviTD_oJ2yUiPAn_uI0S3CsJM8ojoWSWdQa4lC72E6nIrwc5_jyAACdNwGr_UTpFL0/s320/TischOhneTaschenZweiKugeln-UeberDreiBanden.jpg" width="169" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Abb. 5 - Billardstoß ohne Effet über 3 Banden</td></tr>
</tbody></table>
<br />
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<br />
<br />
Und wenn der Stoß über drei Banden erfolgen soll?<br />
Hängt der Schwierigkeitsgrad der Realisierung von der Auswahl der Banden? Könnte man diesen Stoß nicht einfacher über die linke und dann untere und rechte Banden realisieren? Warum?<br />
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<br />
B) Die Lage der Kugeln in Abb. 3 scheint symmetrisch zu sein. Jan und Krista vermuten daher, dass der ideale Stoßpunkt sich in der Mitte der rechten Innenbande befindet.<br />
<br />
Könntest Du das überprüfen und die exakte Lage des Stoßpunktes mathematisch herleiten, damit die weiße Kugel die rote nach dem Abprallen von der rechten Innenbande trifft?<br />
<br />
Dafür kann man die Spielfläche samt Kugeln in ein Koordinatensystem übertragen und z. B. folgende Koordinatenpunktwerte für die Tischecken berücksichtigen (s. Abb. 6), da normaler Weise ein Billardtisch doppelt so lang wie breit ist.<br />
<table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left; margin-right: 1em; text-align: left;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi7WtFVqst79zcOwvBX4emW4GalnEtIhCpHEtgujvRekMfN0AHCSLc3wMGytBGv1YoRIRevPIBg2C1odRChpg3MuA7_80zIMS747-zLhDO7h1U05OYcIKHH168S8ZyhoxEJJvhb__qo0wkk/s1600/TischKoordinaten.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="831" data-original-width="451" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi7WtFVqst79zcOwvBX4emW4GalnEtIhCpHEtgujvRekMfN0AHCSLc3wMGytBGv1YoRIRevPIBg2C1odRChpg3MuA7_80zIMS747-zLhDO7h1U05OYcIKHH168S8ZyhoxEJJvhb__qo0wkk/s400/TischKoordinaten.jpg" width="216" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Abb. 6 - Billardtisch mit <br />
Koordinatensystem</td></tr>
</tbody></table>
<div style="text-align: left;">
</div>
<br />
Im mathematischen Modell sollen weiterhin folgende Bedingungen gelten:<br />
<ul>
<li>Die Spielfläche ist exakt eben und die Kugel wird zentral angespielt. Die Kugel bewegt sich folglich geradlinig und ändert ihre Bewegungsrichtung entsprechend dem Reflexionsgesetz, nachdem sie elastisch gegen eine Bande stößt.</li>
<li>Die Reibung zwischen Kugel und Tisch wird zur Vereinfachung vernachlässigt. Wir müssen uns folglich nicht darum kümmern, ob sie vorzeitig zum Stehen kommt.</li>
<li>Die Kugeln werden zu Punkte reduziert, da auch kein Effet zu berücksichtigen ist.</li>
<li><br /></li>
</ul>
Die Vorgehensweise zur Berechnung des Stoßpunktes an der x=1 Bande (linke Innenbande) ist frei auswählbar (je nach Lernstand):<br />
<ul>
<li>Ab der 9. Klasse: Mit Hilfe der linearen Funktionsgleichungen zweier Geraden</li>
<li>Ab der 11. Klasse: Optional mit Hilfe von Vektorgleichungen</li>
</ul>
<br />
<br />
Viel Spaß am Training!<br />
<br />
Die Lösung zur Fragengruppe A kannst Du <a href="https://mathe-physik-csi.blogspot.com.es/2018/02/loesung-geometrische-billardfrage-training-A.html" target="_blank"><b>HIER</b></a> finden.<br />
Die Lösung zur Fragengruppe B kannst Du im <a href="https://mathe-physik-csi.blogspot.com/2018/09/training-b-fur-ein-besseres-raumliches.html" target="_blank">darauffolgenden Blogbeitrag</a> finden.<br />
<br />
<br />
<div>
<br /></div>
Carola Schmidt Iglesiashttp://www.blogger.com/profile/11199404495619110058noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7631960861280032807.post-65133222867683591212018-01-02T19:28:00.000+01:002018-01-02T22:12:01.214+01:00Erfolgreich gerätselt zu Jahresanfang?<span style="font-size: large;">Hier sind die Lösungen zu unsere <a href="https://mathe-physik-csi.blogspot.com.es/2017/12/um-das-neue-jahr-gut-anzufangen-zwei.html">zwei gestrige mathematische Rätsel</a>.</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span><span style="font-size: x-large;"><b>1)</b></span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgXa_cWufWvwQGMLe5fxxUh84byu5VOK6700-HLePQiOKHleVnrArX55gHDtlHYrc2Idhj2cQCZAkYS5CC1oAA7kl-TMQsRQOznxkTFmT2efl6yt8AsSauH5PEICf_yY6iMuN312HHZf3RW/s1600/Frohes2018-Raetsel.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="511" data-original-width="600" height="340" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgXa_cWufWvwQGMLe5fxxUh84byu5VOK6700-HLePQiOKHleVnrArX55gHDtlHYrc2Idhj2cQCZAkYS5CC1oAA7kl-TMQsRQOznxkTFmT2efl6yt8AsSauH5PEICf_yY6iMuN312HHZf3RW/s400/Frohes2018-Raetsel.jpg" width="400" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<span style="font-size: large;"><br /></span><span style="font-size: large;">Wir haben hier ein Gleichungssystem mit 4 festliche Ikone (4 Unbekannte) und gesucht ist nicht der Wert der einzelnen Ikone, sondern nur deren Summenwert. </span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span><span style="font-size: large;">Lass uns also erstmal die Gleichungen analysieren, um zu sehen, ob wir durch eine einfache Äquivalenzumformung bereits die gesuchte Summengleichung erhalten. </span><br />
<span style="font-size: large;">Ja, das ist möglich! Wir brauchen nur die erste Zeile mit der dritten zu addieren:</span><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhLsXeJX7dIO_UIFUxQg0GQDh8KlgBO3khx3lP7Z8wQfyglaGs_ve2d2h5WYIBMR9sLPMtjE6MyrIuR6OoPcNVQIk3je7z4PWDPoR4iYbN04FVrRdz0E5LL7ZZ3Nw0JPaonIdDfabpkjRey/s1600/L%25C3%25B6sungR%25C3%25A4tselFrohes2018.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="511" data-original-width="500" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhLsXeJX7dIO_UIFUxQg0GQDh8KlgBO3khx3lP7Z8wQfyglaGs_ve2d2h5WYIBMR9sLPMtjE6MyrIuR6OoPcNVQIk3je7z4PWDPoR4iYbN04FVrRdz0E5LL7ZZ3Nw0JPaonIdDfabpkjRey/s400/L%25C3%25B6sungR%25C3%25A4tselFrohes2018.jpg" width="391" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<br />
<span style="font-size: large;">Die Lösung ist folglich 18, was man fast schon bei dem bevorstehenden neuen Jahr 2018 erahnen konnte.</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">Falls man für ein intensiveres Training auch die Lösungswerte aller Ikone bestimmt hat, ist hier unten zur Überprüfung die Lösungsmenge des Gleichungssystems angegeben:</span><br />
<span style="font-size: large;">Stern = 6</span><br />
<span style="font-size: large;">Glas = 4</span><br />
<span style="font-size: large;">Smiley = 3</span><br />
<span style="font-size: large;">Herz = 5</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span><b><span style="font-size: x-large;">2)</span></b><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhaDcpFAhcCBnJcwpv-ql80RewBykpyvViwGOI9Dg9iFUxbmz9Jq51fGwRt8BZRMN4-Sovaym0SfkyO_fxwvFIls0VG9GA1HtqjiCKIL0SLgiAk9woATdvPdK8Gl22NCfyxsZucbG-bYynv/s1600/SangakuNeujahr2018-Hoehen.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="650" data-original-width="620" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhaDcpFAhcCBnJcwpv-ql80RewBykpyvViwGOI9Dg9iFUxbmz9Jq51fGwRt8BZRMN4-Sovaym0SfkyO_fxwvFIls0VG9GA1HtqjiCKIL0SLgiAk9woATdvPdK8Gl22NCfyxsZucbG-bYynv/s1600/SangakuNeujahr2018-Hoehen.jpg" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<span style="font-size: large;"><br /></span><span style="font-size: large;">Als Hilfsmittel zur Flächenbestimmung können wir zum Beispiel erstmal das gleichseitige Sangaku-Dreieck in 4 kleinere gleichseitige Dreiecke unterteilen</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEigXkvq6FUpfREMTXbpAslzWjEXLiMyB1DlJtJBPm4O6YC5NhDQj3WsZZId5fY0MGMi5AESeirTTm8HG9F_KG6Udzu1lO1h8gXYrHsOvkBtUHQkfTkiRaHNMndlYDrw_1jq9oRFPtYnjcBm/s1600/SangakuNeujahr-Unterteilung1.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="620" data-original-width="620" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEigXkvq6FUpfREMTXbpAslzWjEXLiMyB1DlJtJBPm4O6YC5NhDQj3WsZZId5fY0MGMi5AESeirTTm8HG9F_KG6Udzu1lO1h8gXYrHsOvkBtUHQkfTkiRaHNMndlYDrw_1jq9oRFPtYnjcBm/s320/SangakuNeujahr-Unterteilung1.jpg" width="320" /></a></div>
<span style="font-size: large;"><br /></span><span style="font-size: large;">und prüfen wie sich somit die rote fläche des Sangaku-Dreiecks unterteilt:</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjmlt_riU1NvafD3RZTAo79m4QkmdCWWKxvbMjN-veQUc4Dtmyzga20UW4NjWKSA-K8QP_v5EzfOC78ZThLhXbjuzKfswTqocHbQxCP2H198N0YgCnnHdZdY106WGMRtEuYsTlQV55RzDB3/s1600/SangakuNeuJahr-Unterteilung2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="620" data-original-width="620" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjmlt_riU1NvafD3RZTAo79m4QkmdCWWKxvbMjN-veQUc4Dtmyzga20UW4NjWKSA-K8QP_v5EzfOC78ZThLhXbjuzKfswTqocHbQxCP2H198N0YgCnnHdZdY106WGMRtEuYsTlQV55RzDB3/s320/SangakuNeuJahr-Unterteilung2.jpg" width="320" /></a></div>
<span style="font-size: large;"><br /></span><span style="font-size: large;">Wir können nun feststellen, dass die Grenzlinie zwischen A und B eine <b>Seitenhalbierende</b> </span><span style="font-size: large;">(eine Gerade die senkrecht auf die eine Dreiecksseite steht und diese halbiert) ist und zugleich auch eine <b>Schwerelinie</b> (verbindet den Halbierungspunkt der Seite mit dem gegenüberliegendem Echpunkt; auch Median genannt) und eine <b>Höhelinie</b> (Lot von einem Eckpunkt auf die gegenüberliegende Seite und folglich die kürzeste Strecke vom Eckpunkt zur gegenüberliegenden Seite) ist. Dreiecke A und B haben folglich die selbe Höhe und Basisseitenlänge und deshalb auch den selben Flächeninhalt: A=B. </span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;">Außerdem können wir im Bild sehen, dass C und D auch den selben Flächeninhalt wie A haben.</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span><span style="font-size: large;">Da A halb so groß wie einer der 4 kleinere gleichseitige Dreiecke ist, beträgt sein Flächeninhalt ein Achtel der Gesamtfläche G des Sangaku-Dreiecks. </span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;">Der Flächeninhalt des rotgefäbten Sangaku-Dreieckteils ist folglich </span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">F</span><span style="font-size: x-small;">rot</span><span style="font-size: large;"> = B + C + D + e = 3G/8 + e</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span><span style="font-size: large;">Den Flächeninhalt e können wir bestimmen, indem wir uns das mittlere gleichseitige Dreieck näher anschauen:</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgyjHVt3eBnE1ZWBo-8BVWVGWC666KIeq7GPxCIaFEMVZqY7XNFQBRQeMaRtKxVSVIefVGItst_FEQhvOCLMDKoWq5KnW4NWOUTjZZdEibYeqXC6ECh3CZcXIlI4a4m61jnFcFdmqKlvLCT/s1600/SangakuNeujahr-Unterteilung3-FlaechenSe90.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="620" data-original-width="620" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgyjHVt3eBnE1ZWBo-8BVWVGWC666KIeq7GPxCIaFEMVZqY7XNFQBRQeMaRtKxVSVIefVGItst_FEQhvOCLMDKoWq5KnW4NWOUTjZZdEibYeqXC6ECh3CZcXIlI4a4m61jnFcFdmqKlvLCT/s320/SangakuNeujahr-Unterteilung3-FlaechenSe90.jpg" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<span style="font-size: large;"><br /></span><span style="font-size: large;">Wir können hier feststellen, dass e+S ein symmetrisches Dreieck zu C bilden und folglich zusammen den selben Flächeninhalt wie C oder A haben.</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;">Außerdem ist der innere Eckpunkt von S auch der Schnittpunkt der drei Seitenhalbierende, dessen Abstand von einer Seite immer gleich ein Drittel der Seitenhalbierende ist. Der Flächeninhalt S ist dementsprechend auch gleich ein Drittel der Gesamtfläche des mittleren gleichseitigen Dreiecks. </span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;">S = 1/3 * G/4 = G/12 </span><br />
<span style="font-size: large;">wobei G den Gesamtflächeninhalt des Sangaku-Dreiecks angibt</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span><span style="font-size: large;">Demnach ist</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;">e = C - S = T/8 - T/12 </span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span><span style="font-size: large;">und der Flächeninhalt des roten Sangaku-Dreieckteils beträgt:</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span><span style="font-size: large;">F</span><span style="font-size: x-small;">rot</span><span style="font-size: large;"> = 3T/8 + e = 3T/8 + T/8 - T/12 = 6T/12 - T/12 = 5T/12</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span><span style="font-size: large;">Der gesuchte Bruchteil im Neujahr-Sangaku ist also: <b>5/12</b>.</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span><span style="font-size: large;">Ich hoffe ihr hattet viel Spaß beim rätseln!</span>Carola Schmidt Iglesiashttp://www.blogger.com/profile/11199404495619110058noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7631960861280032807.post-29430289164831806352017-12-31T20:13:00.000+01:002018-01-02T22:01:46.020+01:00<span style="font-size: large;">Um das neue Jahr gut anzufangen: zwei mathematische Gehirn-Joggingübungen</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;">1) Zuerst etwas fröhliches mit Glücksterne, ein bisschen Sekt, ein heiteres Herz und gute Stimmung</span><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhrq9x3SMKzRjMs4NXUEXmaJHm4rFu66vfthYHISgXWkqaWdK8Kw3FkZrZ3w3HGnM1ky2QLWmEg6SiQ8HwasHT9PUPAc-8fZVKc854Ay_00lk-byR6Lh95bAH-7xyCOUE87vSKj4Vg0OIZF/s1600/Frohes2018.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="511" data-original-width="600" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhrq9x3SMKzRjMs4NXUEXmaJHm4rFu66vfthYHISgXWkqaWdK8Kw3FkZrZ3w3HGnM1ky2QLWmEg6SiQ8HwasHT9PUPAc-8fZVKc854Ay_00lk-byR6Lh95bAH-7xyCOUE87vSKj4Vg0OIZF/s1600/Frohes2018.jpg" /></a></div>
<br />
<span style="font-size: large;">2) Danach ein <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Sangaku">Sangaku</a> (japanisches Wort für Tafel mit einem geometrischen Rätsel) für ein gutes Jahr:</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgpujfqJbwg4G-FBmBeAvNb1LTLGv-4dHUA2RBhzE5c0pM-JvYWmAcHf32tgo0RP9auVBX7rIsvD-6HzJ6s66MKlEEqe3GpJg87NeDkVfwnS70pgpsG9xWvnGCGcRMxyawg8fBeSfdRZhCx/s1600/SangakuNeujahr2018.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="650" data-original-width="620" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgpujfqJbwg4G-FBmBeAvNb1LTLGv-4dHUA2RBhzE5c0pM-JvYWmAcHf32tgo0RP9auVBX7rIsvD-6HzJ6s66MKlEEqe3GpJg87NeDkVfwnS70pgpsG9xWvnGCGcRMxyawg8fBeSfdRZhCx/s1600/SangakuNeujahr2018.jpg" /></a></div>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<span style="font-size: large;">Morgen publiziere ich die <a href="https://mathe-physik-csi.blogspot.com.es/2018/01/erfolgreich-geratselt-zu-jahresanfang.html">Rätsel-Lösungen</a>.</span><br />
<span style="font-size: large;">Bis dahin einen guten Rutsch ins Neue Jahr!</span>Carola Schmidt Iglesiashttp://www.blogger.com/profile/11199404495619110058noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7631960861280032807.post-42165128288591415672014-06-21T23:53:00.000+02:002014-06-24T01:37:48.730+02:00Nicht so zufällig!<div style="text-align: left;">
</div>
<table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left; margin-right: 1em; text-align: left;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-_M4v97VrkUv4rMuh85G2R7UAEugR4_hrbYLXxFdZCTFLmCWLz85e65XDcHBZW12yZRsyjrECYog6nltdT265oNHPVsg2GQ9H9-8xgMCgfhfByUO6fRxaOg_ycYamlypilg0j5TWnWy6A/s1600/SantJoanPlatja.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-_M4v97VrkUv4rMuh85G2R7UAEugR4_hrbYLXxFdZCTFLmCWLz85e65XDcHBZW12yZRsyjrECYog6nltdT265oNHPVsg2GQ9H9-8xgMCgfhfByUO6fRxaOg_ycYamlypilg0j5TWnWy6A/s1600/SantJoanPlatja.jpg" height="315" width="320" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Johannistag">Johannisnachtfeier</a> am Strand in der Nähe von Barcelona, Spanien</td></tr>
</tbody></table>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Heute ist <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Sonnenwende">Sonnenwendetag</a> und man hört schon einige Böller knallen, obwohl es noch Vormittag ist. </span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Heute wird fröhlich gefeiert und wir werden bestimmt wenig Zeit zum schlafen haben, aber dafür Zeit genug um auch eine mathematische Denkaufgabe zu lösen:</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i>Zwei Frauen treffen sich auf der Straße und nutzen die Gelegenheit, um sich zu unterhalten und über dies und das zu sprechen. Nach einer Weile sagt die eine:</i></span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><br /></i></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i>- Ich habe eine Frage für Sie - Sie sind ja Professorin für Mathematik. Heute ist nicht nur Sonnenwendetag, sondern außerdem ein ganz besonderer Tag für mich. Drei meiner vier Söhne haben heute Geburtstag. Können Sie herausbekommen, wie alt sie sind, wenn ich Ihnen verrate, dass wenn ich die Alterszahlen meiner drei kleineren miteinander multipliziere, 36 erhalte.</i></span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><br /></i></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i>- Sicher. Sie müssen mir aber noch etwas mehr über Ihre Söhne sagen.</i></span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><br /></i></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i>- Stimmt. Zähle ich die Alterszahlen meiner vier Söhne zusammen, dann komme ich auf die heutige Monatstagzahl, also 21.</i></span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><br /></i></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i>Die Mathematikerin denkt eine Weile nach und sagt:</i></span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><br /></i></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i>- Ich brauche noch einen Hinweis.</i></span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i>- OK. Es ist nicht so zufällig.</i></span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><br /></i></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Wünsche Ihnen nun<i> </i>einen schönen Feierabend ;-)</span><br />
<br />
(Und für den Fall eines Falles, können Sie <a href="https://drive.google.com/file/d/0B2bPuBZIB0ToTGFUT3AwMUZlY1k/edit?usp=sharing">HIER</a> eine Lösung finden)Carola Schmidt Iglesiashttp://www.blogger.com/profile/11199404495619110058noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7631960861280032807.post-59551789496431160882013-08-12T16:24:00.001+02:002014-05-22T21:53:19.924+02:00Spaß am Strand mit schöne geometrische KnobeleienMan kann auch am Strand sehr gut Vergnügen an die Geometrie finden. Das zeigt uns <a href="http://www.flickr.com/photos/45648531@N00/sets/72157594166672630/">Calvin Seibert</a> mit seine geometrische Sandschlösser, die er über das ganze Jahr baut.<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjq4ONoACpSJKpFaCgI9PGwHbDfXy-n42f1TbEEaYCebGL1c3VOxdjlP0ha1AousKWmHOnN1_kDAmxfO6sl2Zyb8TcH15QMdjo_yBIqhXIs67K-G7B2T5pVma5mTl7_EwvbyyDApz_yV-Aw/s1600/SandCastle1.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjq4ONoACpSJKpFaCgI9PGwHbDfXy-n42f1TbEEaYCebGL1c3VOxdjlP0ha1AousKWmHOnN1_kDAmxfO6sl2Zyb8TcH15QMdjo_yBIqhXIs67K-G7B2T5pVma5mTl7_EwvbyyDApz_yV-Aw/s400/SandCastle1.jpg" height="300" width="400" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><a href="http://www.flickr.com/photos/45648531@N00/sets/72157594166672630/">http://www.flickr.com/photos/45648531@N00/sets/72157594166672630/</a></td></tr>
</tbody></table>
<div style="text-align: left;">
Er kombiniert oft viele verschiedene geometrische Körper, aber auch nur mit Quadern schafft er eindrucksvolle Bauten</div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjdPDXbC0xh9QFGBsHQvsEOkaNhFjkWhsMXxI3fhWEcxCPOEP3aR9fWAUug3gJa_vAFSqTcY9F0Nt7-dmrf_lx0PiMJoW7IzWw1-yIGCqtd9dGKKDIJMAYN4NjEtn5r-K2D5hxnHIMCFx-F/s1600/SandcastleCalvinSeibert2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjdPDXbC0xh9QFGBsHQvsEOkaNhFjkWhsMXxI3fhWEcxCPOEP3aR9fWAUug3gJa_vAFSqTcY9F0Nt7-dmrf_lx0PiMJoW7IzWw1-yIGCqtd9dGKKDIJMAYN4NjEtn5r-K2D5hxnHIMCFx-F/s400/SandcastleCalvinSeibert2.jpg" height="300" width="400" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><a href="http://www.flickr.com/photos/45648531@N00/sets/72157594166672630/">http://www.flickr.com/photos/45648531@N00/sets/72157594166672630/</a></td></tr>
</tbody></table>
Beim Betrachten oder Bauen dieser geometrischen Körper treten auch viele Fragen auf, wie z.B. diese:<br />
<br />
<div>
<div style="text-align: center;">
<u>KNOBELAUFGABE 1</u></div>
<div style="text-align: left;">
Wir wollen zuerst mal Sandkonstruktionen aus 6 gleich große Quader bauen, und überlegen uns vorher wie man sie anordnen könnte, damit sie folgende Bedingungen erfüllen, wobei folgendes zu beachten ist:</div>
<div style="text-align: left;">
Ein Quader fügt sich mit einem anderen Quader zu einem größeren oder abgestuften Quader zusammen, wenn eine der Flächen oder ein Teil einer Fläche eines Quaders mit einer Fläche oder einem Teil einer Fläche eines anderen Quaders in Berührung kommen. Wenn sich zwei Quader an einer Ecke oder einer Kante berühren, dann wird diese Kombination nicht als einen neuen zusammengefügten Körper betrachtet.</div>
<div style="text-align: left;">
Fall A: Wie kann man 6 Quader anordnen, damit jeder Quader sich mit zwei andere und nur zwei andere zusammenfügt (Es sind mehrere Lösungen möglich.)</div>
<div style="text-align: left;">
Fall B: Wie kann man 6 Quader anordnen, damit jeder Quader sich mit drei andere und nur drei andere zusammenfügt.</div>
<div style="text-align: left;">
Fall C: Wie kann man 6 Quader anordnen, damit jeder Quader sich mit vier andere und nur vier andere zusammenfügt.</div>
<div style="text-align: center;">
<u>KNOBELAUFGABE 2</u><br />
<div style="text-align: left;">
Im nachfolgenden Bild ist ein großer Sandquader zu sehen, der aus mehrere zusammengefügte Bausteine gebaut worden ist. Das schraffierte Eckbaustein wurde als Erstes aus 4 kleinere gleich große Würfel (Quader) zusammengebaut. Für diesen Eckbaustein gibt es 2 Würfelkombinationsmöglichkeiten. Welche?</div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj6VCTOrD009ulJWNTdUsuZjSzvq08VVuhvXhVO4RbTI160DrQQ8YZJbZ1Efsi30f4zP8mlVnOn6wOYNq-W1tDZn48he9vxXQXBWMlmvK6m7IaQ8-RKDfsecH136KxsD8D2Glps3NBYr44C/s1600/SandQuader.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj6VCTOrD009ulJWNTdUsuZjSzvq08VVuhvXhVO4RbTI160DrQQ8YZJbZ1Efsi30f4zP8mlVnOn6wOYNq-W1tDZn48he9vxXQXBWMlmvK6m7IaQ8-RKDfsecH136KxsD8D2Glps3NBYr44C/s400/SandQuader.jpg" height="400" width="296" /></a></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<u>KNOBELAUFGABE 3</u></div>
</div>
<div style="text-align: left;">
Bei den Platonischen Körpern erfüllt sich eine mathematische Beziehung zwischen der Anzahl der Ecken e, der Anzahl der Flächen f und der Anzahl der Kanten k.<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div style="text-align: center;">
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi20Ott52bKYKfCO2Ct9tdSTfoMY_OnKwPXdMZ5ZLvOG8C4AA3neW4U6acs3p9J-fD_4im3cdy9Ef4ToQ8ezROCpWZ52jcoqr2KJgqyFxOhzmBB8BVHArjTdEvr89qKhhw0k7n7gmAugjYe/s1600/PlatonischeKoerperKorrigiert.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi20Ott52bKYKfCO2Ct9tdSTfoMY_OnKwPXdMZ5ZLvOG8C4AA3neW4U6acs3p9J-fD_4im3cdy9Ef4ToQ8ezROCpWZ52jcoqr2KJgqyFxOhzmBB8BVHArjTdEvr89qKhhw0k7n7gmAugjYe/s1600/PlatonischeKoerperKorrigiert.jpg" height="271" width="400" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Platonische Körper</td></tr>
</tbody></table>
<br /></div>
Diese Beziehung lässt sich durch Probieren oder Überlegung auch für andere geometrische Körper finden, wie z.B. Quader, Prismen, Pyramiden .... </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiqz50ygHayRvmXxTJYVrINDrd8r0lOJggxhySOKr90ebB_SFA4hMBKaV1XPw5DQsDIilp3l__BcSVOGh7KDRwyDf2wWqXyX811j1Wd4OeH5WWAQVtR5J7obEwzQdC8wYSd_k3qn7aBJ21n/s1600/GeomKoerper.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiqz50ygHayRvmXxTJYVrINDrd8r0lOJggxhySOKr90ebB_SFA4hMBKaV1XPw5DQsDIilp3l__BcSVOGh7KDRwyDf2wWqXyX811j1Wd4OeH5WWAQVtR5J7obEwzQdC8wYSd_k3qn7aBJ21n/s320/GeomKoerper.jpg" height="304" width="320" /></a></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
Wie lautet sie? Gilt sie auch für ein Treppengebilde des ersten Sandschlosses? (s. erste und untere Abb.)</div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjkUZ3SvjTZb1OTHzGc7-y8BnWhOwHDJRCzqWkZhajuvI34HgULtgOOtzbZHzFfbH_S4avxkyODd2q4Idb92HW6y_BM57NVSphQ0FeBaPdSHgDKn4keFSeRwAzFalGVa7zr74eDyuMbRPDm/s1600/Treppengebilde.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjkUZ3SvjTZb1OTHzGc7-y8BnWhOwHDJRCzqWkZhajuvI34HgULtgOOtzbZHzFfbH_S4avxkyODd2q4Idb92HW6y_BM57NVSphQ0FeBaPdSHgDKn4keFSeRwAzFalGVa7zr74eDyuMbRPDm/s1600/Treppengebilde.jpg" /></a></div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<u>KNOBELAUFGABE 4</u></div>
<div style="text-align: left;">
Wir haben zwei Sandkasteneimer. In den einen passen 3 Liter und in den anderen 4 Liter. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh1cfv8yA6Vpx_lOPce2Q1498BvIh09ziNu6Ae6K0bhpca-2bRvjPCRIMQpkwX5MzyRbtRZ4ujNYu5vL0NGcIUt4NcfbFGyK7rDFFLgq7XiE8iJHskj6siLIO6qCVtX1Tij586mLjRzAOLG/s1600/Eimer.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh1cfv8yA6Vpx_lOPce2Q1498BvIh09ziNu6Ae6K0bhpca-2bRvjPCRIMQpkwX5MzyRbtRZ4ujNYu5vL0NGcIUt4NcfbFGyK7rDFFLgq7XiE8iJHskj6siLIO6qCVtX1Tij586mLjRzAOLG/s320/Eimer.jpg" height="186" width="320" /></a></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
Und wir haben soviel Sand wie wir wollen. Nur, wie bekommt man genau 1 Liter Sand, um einen Sandwürfel mit einer Kantenlänge von 10 cm bauen zu können? Mit anderen Worten, wie kann man wissen, dass genau ein Liter Sand in dem einen Eimer drin sind?</div>
<div style="text-align: center;">
<br />
<div style="text-align: left;">
(<a href="https://docs.google.com/file/d/0B2bPuBZIB0ToUWhzZ291MkVUeWc/edit?usp=sharing">Lösungen anzeigen</a>)</div>
</div>
</div>
Carola Schmidt Iglesiashttp://www.blogger.com/profile/11199404495619110058noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7631960861280032807.post-327918133224006172013-08-04T12:43:00.000+02:002013-08-12T16:10:45.734+02:00Alltagsphysik im Schwimmbecken<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div style="text-align: center;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjIjU94G12P70lv0pQfGE_JChysV-PcSJzj1EgjY7pWxVE5mdru-kwrl1GGHKyM0uBvsAoL-S2n6oH8zPp7Tx1kTqMqQsuJQ2X8nh9lL-ZgDzan8P72DHbugxCBlUM_UzL57OxdZo0642Y/s1600/PiscinaConBoteG.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="330" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjIjU94G12P70lv0pQfGE_JChysV-PcSJzj1EgjY7pWxVE5mdru-kwrl1GGHKyM0uBvsAoL-S2n6oH8zPp7Tx1kTqMqQsuJQ2X8nh9lL-ZgDzan8P72DHbugxCBlUM_UzL57OxdZo0642Y/s400/PiscinaConBoteG.jpg" width="400" /></a></div>
<br /></div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Hier eine Alltagsphysikfrage für die heißen Augusttagen, bei denen man gerne <a href="http://mathe-physik-csi.blogspot.com.es/2013/07/physikalische-gedankensplitter-beim.html">schwimmt oder längere Zeit in der Nähe von Wasser verbringt</a>:</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Einige Kinder spielen im kleinen fast kreisförmigen Schwimmbecken mit annähernd 5 Meter Durchmesser. Sie werfen ein Schlauchboot in den Pool, beladen das Boot mit 40 schwere Steine, setzen sich im Boot und nach etwas paddeln und viel lachen werfen sie die Steine im Wasser. Einer von den Kindern ist am Schwimmbeckenrand geblieben und beobachtet erstaunt das Wasser.</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Was hätte ihn so in Erstaunen bringen können? Die Wasserstandsänderungen?</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Wie ändert sich der Wasserstand während des Spielprozesses?</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Wenn Sie nach ihren Überlegungen zum <a href="http://www.schule-bw.de/unterricht/faecher/physik/online_material/mechanik/druck/archimedes0.htm">Archimedisches Prinzip</a> und <a href="http://www.leifiphysik.de/themenbereiche/auftrieb-und-luftdruck">Auftriebeffekt</a> auch noch experimentell nachprüfen möchten, wie sich der Wasserspiegel während des Spielprozesses verhält, ohne irgendwelche Steine in einem Pool zu werfen, dann können Sie es einfach mit einem vollen Glas Wasser oder sogar Messbecher (stell den Schwimmbecken dar), einem Kunststoffdeckel, der tief genug ist, um nicht im beladenen Zustand mit Wasser vollzulaufen (stell das Boot dar), und ein paar Münzen (stellen die schwere Steine dar) versuchen.</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Überrascht? Ja, jeder Bauch irrt sich mal!</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a href="https://docs.google.com/file/d/0B2bPuBZIB0Tod3lST1dMcGdfSXM/edit?usp=sharing">Hier</a> können Sie einige Rechnungen finden, die das Versuchsergebnis erläutern.</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<u style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: small;">Vermerk</u><span style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: x-small;">: diese Alltagsphysik-Frage ist auch ein Beispiel für beliebte Testfragen von Personalverantwortlichen, mit denen sie den Scharfsinn und Einfallsreichtum der Bewerber erproben (s. zum Beispiel die 5. Frage auf folgender <a href="http://www.karrierefuehrer.de/bewerbung/bewerbungs-warmup.html">Bewerbungs-Warmup-Seite</a>)</span>Carola Schmidt Iglesiashttp://www.blogger.com/profile/11199404495619110058noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7631960861280032807.post-77467383457554159092013-07-29T23:40:00.000+02:002013-07-29T23:40:02.188+02:00Physikalische Gedankensplitter beim Zuschauen der Schwimm-WM 2013 in Barcelona<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjRKSP3MvB-CMMWwynWdp-EOUgBdw4FuYXUKWOoAG9rImz2OnyxUI7YxypMN-P95DBzD3_YBeVPjnEtBX_-OsFfQhuA0kOflqvI58iTjJT_PTuc9x4bC16-xPUR-ZQ-BlXYiIOhKxAuv2jM/s1600/MundialesNatacionBCN2013.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="288" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjRKSP3MvB-CMMWwynWdp-EOUgBdw4FuYXUKWOoAG9rImz2OnyxUI7YxypMN-P95DBzD3_YBeVPjnEtBX_-OsFfQhuA0kOflqvI58iTjJT_PTuc9x4bC16-xPUR-ZQ-BlXYiIOhKxAuv2jM/s400/MundialesNatacionBCN2013.jpg" width="400" /></a></div>
<br />
Die 15. Schwimmweltmeisterschaften finden jetzt in Barcelona statt: ein gute Gelegenheit um einige einfache und kurze Überlegungen über die Physik beim Schwimmen anzustellen.<br />
<br />
Schwimmen ist eine wunderschöne sportliche Aktivität, in der die Wechselwirkung des Sportlers mit dem Medium (Wasser) eine große Rolle spielt. Die physikalische Charakterisierung dieser Wechselwirkung lässt sich auf die Untersuchung folgender Aspekte reduzieren:<br />
- der Auftrieb, der das Schwimmen ermöglicht und senkrecht zur Schwimmrichtung wirkt<br />
- der Antrieb, der die Fortbewegung im Wasser bewirkt und den man durch geeignete Arm- und Beinbewegungen erreicht<br />
- der Widerstand, der gegen die Schwimmrichtung des Körpers wirkt und folglich abbremst<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<u>DER AUFTRIEB</u></div>
Jeder Mensch schafft es, dank dem statischen Auftrieb, an der Wasseroberfläche zu treiben. Sein Körper schwimmt, wenn die <span style="text-align: center;">Gewichtskraft F</span><span style="font-size: xx-small; text-align: center;">G</span><span style="text-align: center;"> auf dem Körper genauso groß ist wie die Auftriebskraft F</span><span style="font-size: xx-small; text-align: center;">A</span><span style="text-align: center;">, wobei sich ein Teil seines Körpers außerhalb des Wassers befindet. (Ein Körper schwebt, wenn F</span><span style="font-size: xx-small; text-align: center;">G</span><span style="text-align: center;">=F</span><span style="font-size: xx-small; text-align: center;">A</span><span style="text-align: center;"> und der ganze Körper unter der Wasseroberfläche bleibt, und würde sinken, wenn F</span><span style="font-size: xx-small; text-align: center;">G</span><span style="text-align: center;">>F</span><span style="font-size: xx-small; text-align: center;">A</span><span style="text-align: center;">) Nach dem </span><a href="http://www.leifiphysik.de/themenbereiche/auftrieb-und-luftdruck" style="text-align: center;">Archimedes Gesetz</a><span style="text-align: center;"> ist die Auftriebskraft F</span><span style="font-size: xx-small; text-align: center;">A</span><span style="text-align: center;"> gleich der Gewichtskraft der vom Körper verdrängten Wassermenge:</span><br />
<div style="text-align: left;">
F<span style="font-size: xx-small;">A</span> = D<span style="font-size: xx-small;">W </span>· V<span style="font-size: xx-small;">E </span>· g</div>
<div style="text-align: left;">
[Dichte des Wassers mal Volumen der verdrängten Wassermenge (= Volumen des eingetauchten Körperteils) mal Erdanziehungskonstante]</div>
<div style="text-align: left;">
Die Gewichtskraft, die nach unten wirkt, ist nach dem <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Newtonsche_Gesetze">Kraftgesetz von Newton</a>:</div>
<div style="text-align: left;">
F<span style="font-size: xx-small;">G</span> = m·g = D<span style="font-size: xx-small;">K </span>· V<span style="font-size: xx-small;">K </span>· g</div>
<div style="text-align: left;">
[Dichte des Körpers mal Volumen des ganzen Körpers mal Erdanziehungskonstante]<br />
<a name='more'></a><br />
Ausschlaggebend ist folglich die Dichte des Körpers. Ist die mittlere Körperdichte kleiner als die Dichte des Wassers (D<span style="font-size: xx-small;">SÜSSWASSER</span>=1000kg/m3 ; D<span style="font-size: xx-small;">SALZWASSER </span>~1025kg/m3), dann wird er schwimmen und das erfüllt sich normalerweise beim menschlichen Körper, der eine mittlere Dichte von mehr oder weniger 970kg/m3 aufweist. SportlerInnen mit schweren Knochen und geringer Lungenkapazität haben allerdings größere Nachteile beim Schwimmen, weil sie stärker absinken wegen ihrer größeren Körperdichte (ein größerer Körperteil muss bei ihnen im Wasser eintauchen damit F<span style="font-size: xx-small;">G</span> = F<span style="font-size: xx-small;">A</span> ist).<br />
Für eine optimales Nutzung des statischen Auftriebs und ein schnelles und langes Schwimmen ist außerdem die Lage des Körpers im Wasser ausschlaggebend. Zwei physikalische Angriffspunkte sind hier von Bedeutung: der Körperschwerpunkt (KSP) und der Volumenmittelpunkt (VMP).<br />
Der KSP ist der Massenmittelpunkt des Körpers und der Angriffspunkt für die nach unten gerichtete Gewichtskraft F<span style="font-size: xx-small;">G</span>. Er liegt immer über dem Unterstützungspunkt an dem man den Körper in Gleichgewicht halten kann (s. Bild unten) und befindet sich ungefähr beim Bauchnabel eines Menschen in gestreckter Haltung, mit an den Körper angelegte Arme, wegen der größeren Dichte bzw. Masse der Beine im Vergleich zu der der luftgefüllten Lunge.<br />
Der VMP ist der geometrische Mittelpunkt des vom eingetauchten Körperteil verdrängten Wasservolumens (stimmt auf Grund der gleichmäßigen Wasserdichte mit dem Schwerpunkt des verdrängten Wasservolumens überein) und Angriffspunkt für den statischen Auftrieb F<span style="font-size: xx-small;">A</span>. Er liegt auf Grund des voluminösen Brustkorbs etwa in Brusthöhe.</div>
<div style="text-align: left;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhwtWlO2nh2YrUQltrCccCat1-FJh_LXEg0zr7QaOFW0jnFnfHBF_nsI4lRyYVf1AaYt_sd7X3vjeDLuM8EtdpTkw2EP2we_Ey_aUeKzdOsH2N6XHyfgrboOXj-CkJ47es3ubGAe76sPkwj/s1600/KoerperSchwerpunkt.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhwtWlO2nh2YrUQltrCccCat1-FJh_LXEg0zr7QaOFW0jnFnfHBF_nsI4lRyYVf1AaYt_sd7X3vjeDLuM8EtdpTkw2EP2we_Ey_aUeKzdOsH2N6XHyfgrboOXj-CkJ47es3ubGAe76sPkwj/s1600/KoerperSchwerpunkt.jpg" /></a></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEig0DWqoEc8puN-iNGfirveCcqvBmoZgWGLLjU-oqI2Dk1Tx2InGDvcnCJ5jriG-k-AQu9fVb0s_DvVajJ4n3oWf4kFAQ2Hz9iW45JmSgZ3rQKDd9f_0hbCP5G_2RgS9W555BuYVReFBGYr/s1600/KoerperVolumenSchwerpunkt.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEig0DWqoEc8puN-iNGfirveCcqvBmoZgWGLLjU-oqI2Dk1Tx2InGDvcnCJ5jriG-k-AQu9fVb0s_DvVajJ4n3oWf4kFAQ2Hz9iW45JmSgZ3rQKDd9f_0hbCP5G_2RgS9W555BuYVReFBGYr/s1600/KoerperVolumenSchwerpunkt.jpg" /></a></div>
<br />
Wenn VMP und KSP nicht übereinander liegen (Fall a und b), ergibt sich ein <a href="http://m.schuelerlexikon.de/mobile_physik/Das_Drehmoment.htm">Drehmoment</a> und die Beine sinken demzufolge ab und der Körper hat die Tendenz zunehmend senkrecht in Wasser zu stehen, bis er schließlich in der senkrechten Position keinem Drehmoment mehr unterliegt (Fall c). Aber man schwimmt sehr schlecht voran, wenn die Beine tief im Wasser hängen! Sie erhöhen so den Wasserwiderstand!<br />
Um das Absinken der Beine zu vermeiden, empfiehlt es sich beim Schwimmen mit dem Bauch</div>
<div style="text-align: left;">
und nicht mit der Brust zu atmen, damit sich der VMP dem KSP nähert. Und wenn man auf dem Rücken schwimmt, kann man den Kopf im Wasser lassen und die Arme weit über den Kopf strecken, damit der KSP sich in Richtung VMP verschiebt (s. Fall d in Abbildung), so dass sie fast übereinander liegen und der Drehmoment folglich nahezu verschwindet.<br />
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<u>ANTRIEB UND WIDERSTAND</u></div>
<div style="text-align: left;">
Um sich fortzubewegen, muss der Sportler sich vom Wasser abstoßen: er muss eine Kraft auf das Wasser ausüben, um durch die Rückkraft des Wassers auf ihn (<a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Newtonsche_Gesetze">reactio des dritten newtonschen Gesetzes</a>) einen entsprechenden Vortrieb zu erreichen. Das erreicht er durch geeignete Arm- und Beinbewegungen, die einerseits den größtmöglichen Vortrieb und anderseits den kleinstmöglichen Widerstand erzeugen. Beim Brustschwimmen zum Beispiel muss er dafür sorgen, dass die Kraftwirkung auf das Wasser möglichst groß ist, wenn er die Arme nach hinten bewegt, und möglichst klein, wenn er sie für den nächsten Schwimmzug nach vorn zurückholt.</div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiY9gS3wQ81dPTc_Tew0gHQqj0t9ToDJHugIzJXmLAB3TMxiJ5uIEUMjv6Li7_-8aw_u1T-EiHOkUrWHKkAvlqoaxL5Gz8jwBHprRpcfYnStmmxyHLoU1f9-YYJbzMsAsZk6rewtMEBXxkB/s1600/Brustschwimmen.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="189" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiY9gS3wQ81dPTc_Tew0gHQqj0t9ToDJHugIzJXmLAB3TMxiJ5uIEUMjv6Li7_-8aw_u1T-EiHOkUrWHKkAvlqoaxL5Gz8jwBHprRpcfYnStmmxyHLoU1f9-YYJbzMsAsZk6rewtMEBXxkB/s320/Brustschwimmen.jpg" width="320" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Arm- und Beinbewegungen beim Brustschwimmen</td></tr>
</tbody></table>
<div style="text-align: left;">
Das erreicht er im ersten Fall, indem er die Handflächen quer zur Fortbewegungsrichtung aufstellt, ihnen dabei eine löffelartige Form verleiht und sie schnell nach hinten stößt. Bei der Rückführung verfährt er so, dass die Arm- und Hand-Querschnittfläche (bzw. Stirnfläche des Körpers) möglischst klein bleibt, damit die Widerstandskraft auch gering ist.</div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiYaR62_-Vz-6gXmIBIoDaqxOawo1d6ok3DYqqmiB-yEHRPZOA8ItxZns0HnTTUTQXZBlDmJbCZq7nGe6cKIrZrQpJicJEvsol_Sb5nvX56UP4HOLg9QwswjOa-iiz_YS9cauZR07YqHn9j/s1600/Brustschwimmen2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="301" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiYaR62_-Vz-6gXmIBIoDaqxOawo1d6ok3DYqqmiB-yEHRPZOA8ItxZns0HnTTUTQXZBlDmJbCZq7nGe6cKIrZrQpJicJEvsol_Sb5nvX56UP4HOLg9QwswjOa-iiz_YS9cauZR07YqHn9j/s320/Brustschwimmen2.jpg" width="320" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Körperhaltung zur Minimierung des Widerstands bei der Streckphase</td></tr>
</tbody></table>
<div style="text-align: left;">
Zur Verringerung des Wasserwiderstands, der gegen die Fortbewegung des menschlichen Körpers im Wasser wirkt, muss man eigentlich verschiedene Gegenmaßnahmen nehmen, je nach Widerstandsform:</div>
<div style="text-align: left;">
Der Reibungswiderstand hängt von der Oberflächenstruktur ab und entsteht dadurch, dass an der Haut des Schwimmers Wasserpartikel ein gewisses Stück mitgezogen werden. Er wird daher mit der Benützung von Badekappe bzw. durch Rasur der Kopfhaare, reibungsarme Schwimmanzüge und sogar Rasur der Körperhaare vermindert.</div>
<div style="text-align: left;">
Der Form- und Strömungswiderstand, der von der Körperform und den Wasserverwirbelungen im Nachlauf abhängt, ensteht dadurch, dass Wasserpartikel gegen die Schwimmrichtung bewegt werden und daher auf den Schwimmer bremsend wirken. Er wird durch die geeignete Schwimmbewegungen und richtige Körperlage im Wasser verringert. </div>
<div style="text-align: left;">
Durch geeignete Schwimmbewegungen werden allerdings auch hydrodynamische Effekte hervorrufen, die die Fortbewegung beim Schwimmen erleichtern.<br />
<div style="text-align: center;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<span id="goog_117865457"></span><span id="goog_117865458"></span><br /></div>
Mehr zum Thema:<br />
- <a href="http://artikel.schuelerlexikon.de/Physik/Auftrieb_und_Auftriebskraft.htm">Auftrieb und Auftriebskraft</a>. Schülerlexikon.de<br />
- <a href="http://spt0010a.sport.uni-oldenburg.de/VEROEFF/BS498SCHWERPUNKTLAGE.PDF">Biomechanik im Sporttheorieunterricht: Der Schwerpunkt, seine Bedeutung und Bestimmumg der Lage des Schwerpunkts</a>. Dr. Martin Hillebrecht. (pdf-Dokument)<br />
- <a href="http://eva.unibas.ch/?c=23376">Biomechanik des Schwimmens</a> - e-booklet U. Basel<br />
<br /></div>
Carola Schmidt Iglesiashttp://www.blogger.com/profile/11199404495619110058noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7631960861280032807.post-79725266501616763262013-07-22T09:18:00.000+02:002013-08-12T16:11:32.324+02:00Mathematische Denkfrage bei 100% Frischluft<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEid6KmT6_NFIDkRRM5YEpOYGZVWLS7Qh8HNa3SuzAHbOe83B1vNA-JPIpG7WQbm8AxXsGhtyTcwRzJ3eW29l3bx6m2HKq8SeosdoisPqOMRQcr3QgYj_DprXPZOa-vozV8_sukojX7UYCg/s1600/100%2525AirConditioning.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="261" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEid6KmT6_NFIDkRRM5YEpOYGZVWLS7Qh8HNa3SuzAHbOe83B1vNA-JPIpG7WQbm8AxXsGhtyTcwRzJ3eW29l3bx6m2HKq8SeosdoisPqOMRQcr3QgYj_DprXPZOa-vozV8_sukojX7UYCg/s400/100%2525AirConditioning.jpg" width="400" /></a></div>
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Es wird Nacht und drei junge Reisende entschließen im ersten Motel, der noch frei Zimmer hat, zu übernachten. Sie haben Glück: alle freie Zimmer sind mit Klimaanlage ausgestattet! </span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Der Preis für ein Dreibettzimmer pro Nacht beträgt 90 €. Jeder bezahlt 30 € im voraus, weil sie am nächsten Tag ganz früh am Morgen losziehen wollen</span><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">.</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Nach einer Weile bemerkt der Motelbesitzer, dass der Preis an diesem Wochentag nur</span><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"> 85 € beträgt. Er schickt daher seinen Gehilfen mit den überschüssigen 5 € zurück zu den drei Reisenden. Dem Gehilfen fällt auf, dass sich 5 Euro schlecht auf drei Personen aufteilen lassen. Er beschließt folglich den jungen Reisenden nur 3 Euro zurückzugeben und die zwei übrigen Euro zu behalten. </span><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Nun haben die drei Reisenden jeweils 30 - 1= 29 € bezahlt, was insgesamt 87 Euro ergibt. Der Gehilfe hat 2 Euro behalten, das macht 89 Euro.</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Aber ursprünglich lagen 90 Euro auf der Theke!</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Wo ist der eine Euro geblieben</span><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">?</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: x-small;"><u>Vermerk</u>: diese Anekdote ist auch ein Beispiel für beliebte Testfragen von Personalverantwortlichen, mit denen sie den Scharfsinn und Einfallsreichtum der Bewerber erproben wollen.</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: x-small;"><a href="https://docs.google.com/file/d/0B2bPuBZIB0ToMWVQcHItSXZaTzg/edit?usp=sharing">Lösung</a></span><br />
<br />Carola Schmidt Iglesiashttp://www.blogger.com/profile/11199404495619110058noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7631960861280032807.post-68197535558305966672013-07-09T14:19:00.000+02:002013-08-12T16:12:14.228+02:00So weit das Auge reicht Die Sommerschulferien haben schon vor zwei Wochen begonnen und die Möglichkeiten, den Kontakt mit der Natur zu genießen und sich dabei Überlegungen über Alltagsrätsel anszustellen, haben sich vervielfältigt...<br />
<br />
Beim spazieren gehen durch den Landwirtschaftspark von Collserola (Sant Cugat del Valles, Barcelona) habe ich heute früh einige Fotos geknipst ........<br />
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEilCOGn-hPFZnX4ODWcL0PAGJSX5JyQ5j3oUWFMwC69znXgX4a7cRYFxDuA9ahlekphKro8GPh0MZgCFmJaaq2ShbIp9g8YdfADGsiDJ7BUHPd7I28sFYQtvvNFiymzGXoGR6rkKJttmY_z/s1600/QueLejosCampo.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEilCOGn-hPFZnX4ODWcL0PAGJSX5JyQ5j3oUWFMwC69znXgX4a7cRYFxDuA9ahlekphKro8GPh0MZgCFmJaaq2ShbIp9g8YdfADGsiDJ7BUHPd7I28sFYQtvvNFiymzGXoGR6rkKJttmY_z/s1600/QueLejosCampo.jpg" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Kornfeld beim Eingang zum Collserola Park</td></tr>
</tbody></table>
<br />
und mir dann die Frage gestellt, wie weit es wohl bis zum Horizont ist, wenn man auf einem ebenen Feldgelände steht oder am Meer ist und es weder atmosphärische Störungen noch massive Hindernisse (Bäume, Häuser, usw.) gibt, die die Sicht behindern, und wie sich diese unbehinderte Sichtweite ändern würde, wenn man das Horizont von einer höheren Beobachtungsstelle aus betrachten würde.<br />
<br />
Sehr schöne unbehinderte Sichten hat man ja auch am Meer bzw. bei einer Schifffahrt, wenn die atmosphärische Bedingungen günstig sind....<br />
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhA-gHuJHv2duB8H11vwmJTmGaIgQObPKQ120v8erH2WX86y9i_xI0f9oHy3eaRgTZ9YI_mUkPdkkIavZXsFRbFMfKJMNRPhm2SwtMNzSmk4f19N8-X0nNa4Ji5mg3FMD6os5aUcqkE-5kf/s1600/QueL-WieWeitHorizont.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhA-gHuJHv2duB8H11vwmJTmGaIgQObPKQ120v8erH2WX86y9i_xI0f9oHy3eaRgTZ9YI_mUkPdkkIavZXsFRbFMfKJMNRPhm2SwtMNzSmk4f19N8-X0nNa4Ji5mg3FMD6os5aUcqkE-5kf/s1600/QueL-WieWeitHorizont.jpg" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Cap Roig an der Costa Brava</td></tr>
</tbody></table>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<br />
Eine Näherungsantwort zu meiner Fragestellung lässt sich mal wieder mit dem <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_des_Pythagoras">Satz des Pythagoras</a> herleiten!<br />
Hier eine kleine farbvolle Skizze um es zu veranschaulichen:<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgKtg11GX1ooCUQ3Itpi27TsrsNdKG4bFsH9PzElhJHXNZaV8kyPCR4YZX0vm1f-ZByHNPus9mcDnlCwe20J3FC6FbQD7YkWquomdrsjQCg0PTIgcbuf2rJ_kJlnYtsT_-md2pFuGXoO_EZ/s1600/QueLejosBarcoHorizonte.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgKtg11GX1ooCUQ3Itpi27TsrsNdKG4bFsH9PzElhJHXNZaV8kyPCR4YZX0vm1f-ZByHNPus9mcDnlCwe20J3FC6FbQD7YkWquomdrsjQCg0PTIgcbuf2rJ_kJlnYtsT_-md2pFuGXoO_EZ/s1600/QueLejosBarcoHorizonte.jpg" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<div style="text-align: left;">
Die Erde ist nicht vollkommen rund, dennoch kann man sie für die annähernde Berechnung der Sichtweite als eine Kugel mit einem <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Erdradius">mittleren Radius</a> von rund 6370 km identifizieren.<br />
<br />
Die Sichtweite des Beobachters auf der Beobachtungsplattform (bzw. Abstand bis zum Horizont):<b> <span style="color: red;">x</span></b><br />
Erdradius: <b>r</b><br />
Winkel zwischen <span style="color: red;"><b>x</b></span> und<b> r</b>: 90º<br />
Abstand des Beobachters vom Erdmittelpunkt: <b>r + s </b>wobei s die Beobachtersichthöhe ist<br />
<br />
<div style="text-align: left;">
Nach dem Satz des Pythagoras gilt: <span style="font-family: inherit;"> <span style="font-size: large;"> </span><b>x<sup>2</sup> + r<sup>2</sup> = (r + s)<sup>2</sup></b></span></div>
<br />
<div class="MsoNormal">
und umgestellt nach <b>x<sup>2</sup></b><span style="color: red;"> </span>erhält man: <b>x<sup>2</sup> = 2rs + r<sup>2</sup> = 2rs + s<sup>2</sup> = (2r + s) s</b></div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
Da der Erdradius r sehr viel größer ist als die Beobachtersichthöhe s, kann man das s in der Klammer vernachlässigen und erhält: <b>x<sup>2</sup> </b><span style="text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><b>≈ 2rs = 12.740 * s</b></span></span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><br /></span></span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="text-align: center;"><span style="font-family: inherit;">Damit gilt für die Sichtweite (geometrische Entfernung) bis zum Horizont folgende einfache Formel:</span></span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><br /></span></span></div>
<div class="MsoNormal">
<o:p></o:p></div>
<div style="text-align: left;">
<div class="MsoNormal">
<o:p></o:p></div>
<!--[if gte msEquation 12]><m:oMathPara><m:oMath><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-size:11.0pt;line-height:
115%;font-family:"Cambria Math","serif";mso-fareast-font-family:Calibri;
mso-fareast-theme-font:minor-latin;mso-bidi-font-family:"Times New Roman";
mso-bidi-theme-font:minor-bidi;mso-ansi-language:ES;mso-fareast-language:
EN-US;mso-bidi-language:AR-SA'><m:r>= </m:r></span></i><m:rad><m:radPr><m:degHide
m:val="on"/><span style='font-family:"Cambria Math","serif";mso-ascii-font-family:
"Cambria Math";mso-hansi-font-family:"Cambria Math";font-style:italic;
mso-bidi-font-style:normal'><m:ctrlPr></m:ctrlPr></span></m:radPr><m:deg></m:deg><m:e><m:sSup><m:sSupPr><span
style='font-family:"Cambria Math","serif";mso-ascii-font-family:"Cambria Math";
mso-hansi-font-family:"Cambria Math";font-style:italic;mso-bidi-font-style:
normal'><m:ctrlPr></m:ctrlPr></span></m:sSupPr><m:e><i style='mso-bidi-font-style:
normal'><span style='font-size:11.0pt;line-height:115%;font-family:"Cambria Math","serif";
mso-fareast-font-family:Calibri;mso-fareast-theme-font:minor-latin;
mso-bidi-font-family:"Times New Roman";mso-bidi-theme-font:minor-bidi;
mso-ansi-language:ES;mso-fareast-language:EN-US;mso-bidi-language:AR-SA'><m:r>(</m:r><m:r>r</m:r><m:r>+</m:r><m:r>s</m:r><m:r>)</m:r></span></i></m:e><m:sup><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-size:11.0pt;
line-height:115%;font-family:"Cambria Math","serif";mso-fareast-font-family:
Calibri;mso-fareast-theme-font:minor-latin;mso-bidi-font-family:"Times New Roman";
mso-bidi-theme-font:minor-bidi;mso-ansi-language:ES;mso-fareast-language:
EN-US;mso-bidi-language:AR-SA'><m:r>2</m:r></span></i></m:sup></m:sSup><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-size:11.0pt;
line-height:115%;font-family:"Cambria Math","serif";mso-fareast-font-family:
Calibri;mso-fareast-theme-font:minor-latin;mso-bidi-font-family:"Times New Roman";
mso-bidi-theme-font:minor-bidi;mso-ansi-language:ES;mso-fareast-language:
EN-US;mso-bidi-language:AR-SA'><m:r>-</m:r><m:r> </m:r></span></i><m:sSup><m:sSupPr><span
style='font-family:"Cambria Math","serif";mso-ascii-font-family:"Cambria Math";
mso-hansi-font-family:"Cambria Math";font-style:italic;mso-bidi-font-style:
normal'><m:ctrlPr></m:ctrlPr></span></m:sSupPr><m:e><i style='mso-bidi-font-style:
normal'><span style='font-size:11.0pt;line-height:115%;font-family:"Cambria Math","serif";
mso-fareast-font-family:Calibri;mso-fareast-theme-font:minor-latin;
mso-bidi-font-family:"Times New Roman";mso-bidi-theme-font:minor-bidi;
mso-ansi-language:ES;mso-fareast-language:EN-US;mso-bidi-language:AR-SA'><m:r>r</m:r></span></i></m:e><m:sup><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-size:11.0pt;
line-height:115%;font-family:"Cambria Math","serif";mso-fareast-font-family:
Calibri;mso-fareast-theme-font:minor-latin;mso-bidi-font-family:"Times New Roman";
mso-bidi-theme-font:minor-bidi;mso-ansi-language:ES;mso-fareast-language:
EN-US;mso-bidi-language:AR-SA'><m:r>2</m:r></span></i></m:sup></m:sSup></m:e></m:rad></m:oMath></m:oMathPara><![endif]--><!--[if !msEquation]--><!--[endif]--><br />
<div class="MsoNormal">
<!--[endif]--><o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal">
<!--[endif]--><o:p></o:p></div>
<div style="text-align: left;">
<b>x </b><span style="text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><b>≈ 113 * </b></span></span><span style="font-family: 'Times New Roman', serif;"><b>√¯s </b> [in km]</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: 'Times New Roman', serif;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal">
<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif";">Im ebenen Gelände ist daher der Horizont bei 1,70 m = 0,0017 km Beobachtersichthöhe knapp 4,6 km entfernt. Ist man auf einer 30 m hohen Beobachtungsplattform (s = 0,03 km), dann hat man schon eine Sichtweite bis zum Horizont von fast 20 km!</span><o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif";"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif";">In dieser annähernden Berechnung der geometrischen Entfernung bis zum Horizont sind allerdings keine Lichtbrechungseffekte in der Atmosphäre berücksichtigt worden, die je nach Wetterlage mehr oder minder stark sein können und die optische Sichtweite im Vergleich zur geometrischen Entfernung erheblich ändern können und in der Seefahrerwelt oft mit einem mittleren Faktor von ungefähr 1,1 berücksichtigt werden.</span><br />
<span style="font-family: "Times New Roman","serif";"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times New Roman, serif;">Bei Seefahrten bzw. am Meer kann man auch beobachten, dass man manchmal nur die Aufbauten anderer Schiffe sehen kann, die selbst aber hinter dem Horizont bleiben, oder nur die Bergspitzen einer entfernten Insel wie in der folgenden Skizze:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgqwOm6pGsnK1pZ87tNjsZMKqwaDH0BW-aKyVNfNcKeoYBihiuuDp5aT75W16awnFpyUxb3zVZFEb8mFQFMMXAKTzkYOdQ1Q78nXxXYLVZxlCIP09BlXCGdLX5MEceb8mriUfd-oFeQVGYP/s1600/QueLejosBarcoMontana.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgqwOm6pGsnK1pZ87tNjsZMKqwaDH0BW-aKyVNfNcKeoYBihiuuDp5aT75W16awnFpyUxb3zVZFEb8mFQFMMXAKTzkYOdQ1Q78nXxXYLVZxlCIP09BlXCGdLX5MEceb8mriUfd-oFeQVGYP/s1600/QueLejosBarcoMontana.jpg" /></a></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Times New Roman, serif;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times New Roman, serif;">Wie weit kann man in diesem Fall sehen, wenn man im ebenen Gelände (ohne atmosphärische Störungen und ohne irgendwelche Lichtbrechungseffekte) von einem s Meter hohen Beobachtungspunkt einen b Meter hohen Berg sieht? Gibt es dafür auch eine einfache Formel? </span></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg1typ4Qqq2dtDhWejoP4OGzPja5iBUjHPJsuUR7JniL6NfUWmhIy0Hyv8oX9G-WI3tK5xU7-FlvFSmUUYlNIZQn2yTTTzrfXxqUKrOYEuxte_b4qMVzS6cfbI5A92vYUeACfIj9_mWTQ6A/s1600/MallorcaDesdeCollserola.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg1typ4Qqq2dtDhWejoP4OGzPja5iBUjHPJsuUR7JniL6NfUWmhIy0Hyv8oX9G-WI3tK5xU7-FlvFSmUUYlNIZQn2yTTTzrfXxqUKrOYEuxte_b4qMVzS6cfbI5A92vYUeACfIj9_mWTQ6A/s1600/MallorcaDesdeCollserola.jpg" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Blick vom Fabra-Observatorium (413 m, bei Collserola, Barcelona) auf die Bergumrisse der Insel Mallorca<br />
<a href="http://ropits.com/serra/mallorca.htm">Foto von Alfons Puertas Castro, 7. Dez. 2010 um 14 Uhr</a> </td></tr>
</tbody></table>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
</div>
</div>
<div style="text-align: center;">
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
</div>
Carola Schmidt Iglesiashttp://www.blogger.com/profile/11199404495619110058noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7631960861280032807.post-42279832722678496922013-06-23T17:26:00.000+02:002013-06-24T11:26:13.101+02:00Johannisnacht und Wissenschaft bei Feuer<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Heute Abend beginnt die Feierlichkeit der Sommer-Sonnenwende: die Johannisnacht, die Nacht der Lagerfeuer, Fackeln, Knaller, Böller und Feuerwerke... ¡Aber Vorsicht mit dem Feuer!</span><br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhc4p6ADBkv5fUfs1Gi-PnlRIicwqGKKP4AIERp_mUMWcirp7Lz4rZBq-qTl7r5-_prBcxFeGb4HJF8JXfW620PrR3IvATB6b2hJijB8qZsjfxCNSzlXULltwpcTkzyEpJNWoBt6Vuw4qo/s1600/SanJuanBarna.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="242" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhc4p6ADBkv5fUfs1Gi-PnlRIicwqGKKP4AIERp_mUMWcirp7Lz4rZBq-qTl7r5-_prBcxFeGb4HJF8JXfW620PrR3IvATB6b2hJijB8qZsjfxCNSzlXULltwpcTkzyEpJNWoBt6Vuw4qo/s400/SanJuanBarna.png" width="400" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Johannisnacht in Barcelona</td></tr>
</tbody></table>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Erfahren Sie, wie vier Festgäste ein Problem mit dem Feuer zu lösen versuchten .......</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Ein Pfarrer, eine Physikerin, ein Maschinenbauingenieur und ein Mathematiker befinden sich im letzten Stockwerk eines in Flammen aufgehenden Gebäudes.</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Der einzige Ausweg um vor der Hitze nicht umzukommen, ist aus dem Fenster in das Schwimmbecken auf der Dachterrasse des nächsten und etwas niedrigeren Gebäudes zu springen.... ¡Der Sprung ist allerdings nicht leicht!</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Der Pfarrer setzt sich auf dem Fenstersims, betet und springt ab.... Er landet im Schwimmbecken, knapp einige Zentimeter von der Schwimmbeckenkante entfernt.</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Die Physikerin schätzt die Windgeschwindigkeit, den waagrechten Abstand zwischen Fenster und Schwimmbeckenmitte, den Höhenunterschied zwischen Fenster und Schwimmbecken, berechnet die Flugbahn, indem sie alle Rechenschritte mit einem Bleistift auf der Wand notiert, und bestimmt somit die notwendige Anfangsgeschwindigkeit und den idealen Absprungwinkel, um in der Mitte des Schwimmbeckens zu landen. Rennt dann vor, um den notwendigen Impuls zu gewinnen, springt ab und landet im Schwimmbecken, knapp einige Zentimeter von der Schwimmbeckenkante entfernt.</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Der Maschinenbauingenieur reißt ein Brett aus dem Fußboden, schätzt die Elastizität des Holzbretts, befestigt das Brett am Fenster und benützt die Daten der Physikerin um seine eigene Berechnungen zu machen - sind allerdings etwas länger als die der Physikerin und braucht dafür eine ganze Wand. Er steigt zuletzt auf das Brett, springt ab und landet im Schwimmbecken, knapp einige Zentimeter von der Schwimmbeckenkante entfernt.</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Der Mathematiker verfügt nun über die Daten der Physikerin und des Maschinenbauingenieurs und durchführt seine eigene Berechnungen... notiert auf einer Wand,.... zwei Wände, ..... drei Wände ....., steigt dann auch auf das Brett, das am Fenster befestigt wurde, springt ab ................ aber wo ist er gelandet? Man kann ihn nicht sehen! ...... Was ist geschehen?</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">?</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">???</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">?????</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">???????</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">????</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">??</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">?</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Ein Vorzeichenfehler!</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Gelesen im Blog von <a href="http://ztfnews.wordpress.com/2013/06/23/la-ciencia-del-fuego-en-la-noche-de-san-juan/">ZTFNews.org</a> und hier frei übersetzt.</span><br />
<br />
<br />
<br />Carola Schmidt Iglesiashttp://www.blogger.com/profile/11199404495619110058noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7631960861280032807.post-30574208528235609052013-06-09T23:27:00.000+02:002013-06-10T00:39:44.489+02:00Gute Noten und Wasser<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Wir nähern uns dem Schulkursende und viele von euch haben schon fast alle Klassenarbeiten hinter sich. </span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Einige haben sogar sehr gute Noten geschafft - ich gratuliere euch dazu!</span><br />
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Andere werden diese Woche die letzte Mathe- und/oder Physik-Klausur schreiben - Kopf hoch! </span><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Ihr habt gelernt und geübt. </span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Außerdem könnt ihr laut einer unlängst veröffentlichten Studie (von der jetzt sehr viel gesprochen wird) die Noten mit einem einfachen und gesunden Hilfsmittel bessern: <b>Wasser</b>. </span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Bessere Noten ohne zusätzlich lernen!?</span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiQwgLEwcQfkSfJagig-KZDERwAq0jcgkuW-l5yocsfKLf2CG6QXew7KaE8E_3c3BxECRjQs1UqiFS87VatgvgMdJ9RL68xDThUaSQQtrPSskiysAnJd6EJ9T44avu5pzkVGDdv-qYj0-Qi/s1600/DuranteExam.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="239" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiQwgLEwcQfkSfJagig-KZDERwAq0jcgkuW-l5yocsfKLf2CG6QXew7KaE8E_3c3BxECRjQs1UqiFS87VatgvgMdJ9RL68xDThUaSQQtrPSskiysAnJd6EJ9T44avu5pzkVGDdv-qYj0-Qi/s320/DuranteExam.jpg" width="320" /></a></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Ja, die Forscher um den Studienleiter Chris Pawson von der University of East London haben das Verhalten von 447 Studenten in unterschiedliche Prüfungen untersucht und dabei ihre Leistung in Abhängigkeit davon, ob diese etwas zu trinken mitbrachten oder nicht. Der Knaller der Ergebnisse dieser Studie ist eine bemerkenswerte Korrelation:</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: left;">
<b><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Wer Wasser zu den Prüfungen mitnimmt, schneidet in den Klausuren besser ab und dafür könnte es sogar schon ausreichen, einfach Wasser dabei zu haben, ohne etwas davon zu trinken.</span></b></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Laut der Meinung des Studienleiters gibt es psychologische und physiologische Gründe dafür:</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">das Trinken von Wasser könnte einen positiven Effekt auf die Denkfähigkeit haben und selbst die bloße Anwesenheit der Wasserflasche könnte schon eine stressabbauende und beruhigende Wirkung haben.</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Die Wissenschaftler registrierten allerdings nur die erreichten Noten und ob die Studenten Wasser bei der Prüfung hatten, aber nicht ob sie viel Wasser oder überhaupt etwas tranken.... </span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Und ich nehme an, folgende Möglichkeit wurde auch nicht registriert!</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgh3e_DbRbqHOQ8IqwJsToII5ZsLOzdPvI27Wkg6e4TZMCL3WUsJB1aePP1MwPY6pEoq8RsPdLUKHOZyK0LHP6-Za2QYvLJxJxiFTjVLfGTvliQca7MSUVZjLN5BhyUBBzsvr7cMUWSnHld/s1600/DuranteExamen.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="212" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgh3e_DbRbqHOQ8IqwJsToII5ZsLOzdPvI27Wkg6e4TZMCL3WUsJB1aePP1MwPY6pEoq8RsPdLUKHOZyK0LHP6-Za2QYvLJxJxiFTjVLfGTvliQca7MSUVZjLN5BhyUBBzsvr7cMUWSnHld/s320/DuranteExamen.jpg" width="320" /></a></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Weitere Studien sind notwendig, um von einer eindeutigen Kausalität zu sprechen, wie auch der Studienleiter zugibt (mehr Informationen über die Studie bei den <a href="http://www.uel.ac.uk/news/press-releases/2012/04/waterexams.htm">News der University of East London</a>). </span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Ihr könnt natürlich trotzdem zunächst diesen Hilfsmittel versuchen: allerdings besser ohne Spickzettel!</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Spickzettel sind aufwändig und der Lehrer kann ihn leicht erwischen!</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><u>Anmerkung</u>: Es ist nicht unbedingt eine schlechte Idee, sich eins zu machen, weil man durch das anfertigen eines Spickzettels gezwungen ist, das Thema sinnvoll zusammenzufassen und dabei das Wesentliche lernt. Deswegen braucht man ihn oft gar nicht mehr bei der Prüfung!<span style="font-size: 15px; line-height: 19px;"> </span></span></div>
<div class="answer-actions" style="border: 0px; font-size: 15px; height: 38px; line-height: 19px; margin: 25px 0px 0px; padding: 0px; zoom: 1;">
</div>
Carola Schmidt Iglesiashttp://www.blogger.com/profile/11199404495619110058noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7631960861280032807.post-48329334940410423822013-06-03T09:30:00.000+02:002013-06-03T09:30:38.359+02:00Vor der Prüfung<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiNfCis9IfEoF_K3_8NaxafPbEQuYgjlvthzI-M66Vjz___uj-Pp-Kx3Bt2UY8U6ySj0xoidrPqaFsQqBVVA8ij6lT15KRlHExEW4nP-VW1Z57-OoOsJ0ze6rX-IrBt8p4Pqy2fRH5xanms/s1600/Llegando+al+final(whatssoulslawbroscallme).gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="176" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiNfCis9IfEoF_K3_8NaxafPbEQuYgjlvthzI-M66Vjz___uj-Pp-Kx3Bt2UY8U6ySj0xoidrPqaFsQqBVVA8ij6lT15KRlHExEW4nP-VW1Z57-OoOsJ0ze6rX-IrBt8p4Pqy2fRH5xanms/s320/Llegando+al+final(whatssoulslawbroscallme).gif" width="320" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: center;">
<span style="color: #45818e; font-family: Verdana, sans-serif;"><b>KOPF HOCH, DU SCHAFFT ES!</b></span><br />
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Und hier einige Tipps für die letzten 24 Stunden vor der Prüfung, um ganz fit zu sein:</span></div>
<div style="text-align: left;">
</div>
<ul>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Am letzten Tag vor der Prüfung ist es am sinnvollsten, nichts Neues zu lernen und das Gelernte ruhen und sacken lassen. Am besten entspannst Du dich am letzten Tag vor der Prüfung, indem Du dich z. B. mit einem beliebten Hobby beschäftigst und gehe nur, wenn Du noch etwas Wiederholung brauchst, das gelernte Stoff nochmal kurz durch. Bedenke, dass das neue Wissen Zeit braucht, um sich im Gedächtnis zu setzen und man kann im letzten Moment sehr schlecht neue Inhalte mit vorhandene Kenntnisse verknüpfen und sich deshalb auch die Prüfungsnervosität leicht steigern lässt.</span></li>
</ul>
<ul>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Schlafe genug (mindestens 7 Stunden) die Nacht vor der Prüfung.</span></li>
</ul>
<ul>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Stehe am Prüfungstag früh genug auf: das Gehirn braucht mindestens 2 Stunden um völlig wach und leistungsfähig zu sein. Ein morgenlicher Spaziergang oder ein bisschen Gymnastik können die Sauerstoffzufuhr im Gehirn anregen und ein gesundes Frühstück mit reichlich Kohlenhydraten und wenig Kaffee sollte dann auch die notwendige Energiezufuhr für die bevorstehende Denkarbeit decken.</span></li>
</ul>
<ul>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Wenn Du dann vor Prüfungsbeginn mit deine Mitschüler vor Ort bist, errege nicht unnötig dein Gemüt mit Fragen oder Spekulationen über mögliche Klausurthemen. Schotte dich ab und lass dich von keiner kollektiven Panik anstecken.</span></li>
</ul>
<ul>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Falls sich trotz aller Maßnahmen ein Panikgefühl anschleicht, hilft es sich auf einem regelmäßigen tiefen Atmen zu konzentrieren und an ein angenehmes Erlebnis oder ein schönes Vorhaben nach der Prüfung zu denken. </span></li>
</ul>
Carola Schmidt Iglesiashttp://www.blogger.com/profile/11199404495619110058noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7631960861280032807.post-31727096004243585772013-05-16T20:15:00.000+02:002013-08-12T16:13:03.880+02:00Können und Glück um zu bestehen Unvorhersehbare Umstände und Zufälle tauchen oft in jedem Leben auf.
Aber mit minimale <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Stochastik">Stochastikkenntnisse</a> kann man
zum Glück Risiken und Chancen gut schätzen.<br />
Aber können Wahrscheinlichkeitsrechnungen bzw. Schätzungen auch zweckdienliche Aussagen für die Vorbereitung auf einer Klausuren bieten?<br />
Das können wir hier an Hand von zwei Beispielen untersuchen und dabei die eigenen Kenntnisse über elementare Wahrscheinlichkeitsrechnungen testen:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi7Vc9tpsdX1kPAuMwcvmtlvAV2DnXsUWHttPtsv7e1aWtnWS2DoXT76SmkRQYfbOZMj9cI_AXWDQ_wBCCuCw55bcpBcFoswHYDylui9DU6fXC-ibPNYs2XWlBlWoYobQv0hhlHzluA_1Dr/s1600/Gluecksrad4Reifen.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi7Vc9tpsdX1kPAuMwcvmtlvAV2DnXsUWHttPtsv7e1aWtnWS2DoXT76SmkRQYfbOZMj9cI_AXWDQ_wBCCuCw55bcpBcFoswHYDylui9DU6fXC-ibPNYs2XWlBlWoYobQv0hhlHzluA_1Dr/s1600/Gluecksrad4Reifen.jpg" /></a></div>
<b><br /></b>
<b>Beispiel 1</b>:<br />
Die drei besten Physik-Studenten des Jahrgangs stehen kurz vor ihrer
Abschlussprüfung. Sie fühlen sich auf die Prüfung sehr gut vorbereitet und
entscheiden am Abend vorher zu feiern und nicht mehr an die Prüfung zu
denken.<br />
Es kommt, wie es kommen muss und alle 3 verschlafen am nächsten Morgen
und schaffen es nicht mehr rechtzeitig zur Prüfung. Sie treffen sich vor
dem Universitätsgebäude und überlegen, wie sie nun aus dieser
schwierigen Lage herauskommen könnten. Sie wissen, dass sie aufgrund
ihrer hervorragenden Leistungen beim Professor hoch im Kurs stehen und
wollen versuche, ihn mit einer guten Ausrede zu überzeugen, dass sie die
Prüfung wiederholen dürfen.<br />
Nach kurzem überlegen entscheiden sie sich für die klassische Ausrede,
dass sie eine Reifepanne auf dem Weg zur Uni gehabt hätten, sodass sie
zu spät gekommen sind. Das tragen sie dem Professor vor und er ist
tatsächlich bereit den 3 Studenten eine zweite Chance zu geben, obwohl
sie sofort nachschreiben müssten. Die 3 Studenten willigen ein
und freuen sich sehr über die Güte des Professors.<br />
Nach 15 Minuten wird jeder in ein Extraraum gesetzt und bekommt den
Prüfungsbogen, der nur zwei Fragen beinhaltet. Eine erste Frage die 30
Punkte zählt und folgende Frage die 70 Punkte zählt: <br />
An welchem Reifen hatten Sie heute morgen eine Panne?<br />
<br />
Tja....dumm gelaufen (oder nicht?), denn um die Prüfung zu bestehen, muss man mindestens 50 Punkte erreichen!<br />
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei den gleichen Reifen nennen?<br />
<br />
* <a href="https://docs.google.com/file/d/0B2bPuBZIB0ToZXFPUG11bkRtanM/edit?usp=sharing">1 / 64</a><br />
* <a href="https://docs.google.com/file/d/0B2bPuBZIB0ToOWZkSFJMbTZST3M/edit?usp=sharing">1 / 16</a><br />
* <a href="https://docs.google.com/file/d/0B2bPuBZIB0ToZXFPUG11bkRtanM/edit?usp=sharing">1 / 4</a><br />
* <a href="https://docs.google.com/file/d/0B2bPuBZIB0ToZXFPUG11bkRtanM/edit?usp=sharing">1 / 3</a><br />
<br />
<span style="font-size: x-small;">(<a href="https://docs.google.com/file/d/0B2bPuBZIB0ToMlREc0lxWF9DZ1k/edit?usp=sharing">HIER</a> klicken für Berechnungsdetails und Kommentare)</span><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiaTpFIQ2BsWV_957Er9sCiuliJhPiEnT-U_2pyf7it8kN-H_OYDX6js4rHSTq5G9xUC_xqztH-PRyk025COYQtn-XtPV-3QHyDAEWL07ktQGu38rMScXyle5xeHeBlvBG1DteIcIf9i5I/s1600/Wuerfelbecher.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiaTpFIQ2BsWV_957Er9sCiuliJhPiEnT-U_2pyf7it8kN-H_OYDX6js4rHSTq5G9xUC_xqztH-PRyk025COYQtn-XtPV-3QHyDAEWL07ktQGu38rMScXyle5xeHeBlvBG1DteIcIf9i5I/s1600/Wuerfelbecher.jpg" /></a></div>
<b>Beispiel 2</b>:<br />
Paul hat nicht genug Zeit, um sich für alle 6 Themen der Matheklausur gut vorzubereiten. Er überlegt jetzt, ob er doch nicht nur einfach 3 der sechs Themen durcharbeiten soll, da die Klausur ja auch nur aus eine Aufgabe zu je zwei von den 6 Mathethemen bestehen wird. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass in der Klausur mindestens eine Aufgabe zu den Themen, die Paul gelernt hat, gestellt wird und Paul somit die Möglichkeit hat die Klausur zu bestehen?<br />
<br />
* <a href="https://docs.google.com/file/d/0B2bPuBZIB0ToZXFPUG11bkRtanM/edit?usp=sharing">50%</a><br />
* <a href="https://docs.google.com/file/d/0B2bPuBZIB0ToZXFPUG11bkRtanM/edit?usp=sharing">25%</a><br />
*<a href="https://docs.google.com/file/d/0B2bPuBZIB0ToR1FsU3RrZXVPVjA/edit?usp=sharing"> 80%</a><br />
* <a href="https://docs.google.com/file/d/0B2bPuBZIB0ToZXFPUG11bkRtanM/edit?usp=sharing">75%</a><br />
<span style="font-size: x-small;"><br /></span>
<span style="font-size: x-small;">(<a href="https://docs.google.com/file/d/0B2bPuBZIB0ToajJoUWR3Ukdsb0k/edit?usp=sharing">HIER</a> klicken für Berechnungsdetails und Kommentare)</span><br />
<br />
<br />
Um elementare Kenntnisse über Wahrscheinlichkeitsrechnung und Stochastik zu erweitern bzw. erfrischen, könnte folgendes interessant bzw. behilflich sein:<br />
<br />
<table border="1" cellpadding="2" cellspacing="2" style="width: 570px;">
<tbody>
<tr>
<td colspan="2" rowspan="1" valign="top" width="400">Buch:
<b>Wenn Gott würfelt oder Wie der Zufall unser Leben bestimmt</b><br />
von Leonard Mlodinow<br />
Ein unterhaltsames und lehrreiches Buch über die Welt der
Wahrscheinlichkeit und häufige Irrtümer<br />
(Niveau: ab Oberstufe)</td>
</tr>
<tr>
<td valign="top" width="400">Kurs: <b>Brinkmann's Einführung in
die Stochastik</b><br />
(Niveau: Oberstufe)</td>
<td valign="top"><div style="text-align: center;">
<a href="http://www.brinkmann-du.de/mathe/gost/stoch_01.htm">Online Kurs anzeigen</a></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td valign="top" width="400"><b>Wahrscheinlichkeitsrechnung: Formelsammlung und
Zusammenfassung der wichtigsten Definitionen mit Beispiele</b><br />
(Niveau: Oberstufe)</td>
<td valign="top"><div style="text-align: center;">
<a href="http://www.ingo-bartling.de/mathe/klasse12/html/stochastik/wahrscheinlichkeit.html">Ingo-Bartling-Seite anzeigen</a></div>
<br /></td>
</tr>
<tr>
<td valign="top" width="400"><b>Elementare
Wahrscheinlichkeitstheorie zusammengefasst</b></td>
<td valign="top"><div style="text-align: center;">
<a href="http://www.henked.de/begriffe/wahrscheinlichkeit.htm">dh-Lernmaterialien anzeigen</a></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td valign="top" width="400"><b>Präsenzkurs bzw. Nachhilfe bei
CSI</b><br />
(Niveau ab 9. Klasse)</td>
<td valign="top"><div style="text-align: center;">
<a href="http://mathe-physik-csi.blogspot.com.es/p/kontakt.html">Kontakt</a> </div>
</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<br />Carola Schmidt Iglesiashttp://www.blogger.com/profile/11199404495619110058noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7631960861280032807.post-62543844345568887802013-05-08T22:15:00.000+02:002013-05-08T22:32:13.457+02:00Griechische Buchstaben in der Mathematik und Physik<span style="font-family: inherit;">In der Mathematik und Physik werden oft griechische Buchstaben für die Bezeichnung von Parametern und Konstanten benützt.</span><br />
<span style="font-family: inherit;">Hier können Sie eine kleine Hilfe finden, die das Vertrautsein mit diesen Buchstaben erleichtert:</span><br />
<div align="center">
<br /></div>
<table align="center" border="1" cellpadding="2" cellspacing="2" style="width: 570px;">
<tbody>
<tr>
<td align="center" colspan="2" rowspan="1" valign="top" width="70"><b><span style="font-family: inherit;">Griechische Buchstaben</span></b></td>
<td align="center" colspan="1" rowspan="2" valign="top" width="190"><b><span style="font-family: inherit;"><br /></span></b>
<b><span style="font-family: inherit;">Aussprache</span></b></td>
<td align="center" colspan="1" rowspan="2" valign="top" width="200"><b><span style="font-family: inherit;"><br /></span>Lautmalerei</b></td>
</tr>
<tr>
<td align="center" valign="top" width="90"><b>Groß</b></td>
<td align="center" valign="top" width="90"><b>Klein</b></td>
</tr>
<tr>
<td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 18.0pt; line-height: 115%;"><span style="font-family: Times, Times New Roman, serif;">Α</span><o:p></o:p></span></div>
</td>
<td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18.0pt; line-height: 115%;">α</span><o:p></o:p></div>
</td>
<td align="center" valign="top" width="190"><br />
Alpha</td>
<td align="center" valign="top" width="200"><br /></td>
</tr>
<tr>
<td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18pt; line-height: 115%;">Β</span><br />
<o:p></o:p></div>
</td>
<td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18.0pt; line-height: 115%;">β</span><o:p></o:p></div>
</td>
<td align="center" valign="top" width="190"><br />
Beta</td>
<td align="center" valign="top" width="200"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhDnlOtFNmmFCf_shX-aaoxW6kbnx3Du-py40Ob4Hepw1eydYxHlOGwFOwCqmwJKuv1H9NnhMM6Pjo7OXQW0pt22HqA0z3hH02hKVAkbtiR-maCCdMoVbROBlBaboawpGffa1nApArjRXE7/s1600/B-Schafe.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhDnlOtFNmmFCf_shX-aaoxW6kbnx3Du-py40Ob4Hepw1eydYxHlOGwFOwCqmwJKuv1H9NnhMM6Pjo7OXQW0pt22HqA0z3hH02hKVAkbtiR-maCCdMoVbROBlBaboawpGffa1nApArjRXE7/s1600/B-Schafe.jpg" /></a></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18.0pt; line-height: 115%;">Γ</span><o:p></o:p></div>
</td>
<td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18.0pt; line-height: 115%;">γ</span><o:p></o:p></div>
</td>
<td align="center" valign="top" width="190"><br />
Gamma</td>
<td align="center" valign="top" width="200"><br /></td>
</tr>
<tr>
<td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18.0pt; line-height: 115%;">Δ</span><o:p></o:p></div>
</td>
<td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18.0pt; line-height: 115%;">δ</span><o:p></o:p></div>
</td>
<td align="center" valign="top" width="190"><br />
Delta</td>
<td align="center" valign="top" width="200"><br /></td>
</tr>
<tr>
<td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18.0pt; line-height: 115%;">Ε</span><o:p></o:p></div>
</td>
<td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18.0pt; line-height: 115%;">ε</span><o:p></o:p></div>
</td>
<td align="center" valign="top" width="190"><br />
Epsilon</td>
<td align="center" valign="top" width="200"><br /></td>
</tr>
<tr>
<td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18.0pt; line-height: 115%;">Η</span><o:p></o:p></div>
</td>
<td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18.0pt; line-height: 115%;">η</span><o:p></o:p></div>
</td>
<td align="center" valign="top" width="190"><br />
Eta</td>
<td align="center" valign="top" width="200"><br /></td>
</tr>
<tr>
<td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18.0pt; line-height: 115%;">Θ</span><o:p></o:p></div>
</td>
<td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18.0pt; line-height: 115%;">ϑ</span><o:p></o:p></div>
</td>
<td align="center" valign="top" width="190"><br />
Theta</td>
<td align="center" valign="top" width="200"><br /></td>
</tr>
<tr>
<td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18.0pt; line-height: 115%;">Κ</span><o:p></o:p></div>
</td>
<td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18.0pt; line-height: 115%;">κ</span><o:p></o:p></div>
</td>
<td align="center" valign="top" width="190"><br />
Kappa</td>
<td align="center" valign="top" width="200"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi6DAIptFCxJCvHWloGsH1tNzynCAL5Scr4Jd-bw-ri7FrQmMisJXNWCC3pU2DO1y1Nq46-ZDTqBtlhAbcquI5gK9NIOHCYvX1Irzxu-8lXaOFzfFy1Y34nsgr77YeAfnD3GcNLdP1YgHlW/s1600/B-StorchKappa.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi6DAIptFCxJCvHWloGsH1tNzynCAL5Scr4Jd-bw-ri7FrQmMisJXNWCC3pU2DO1y1Nq46-ZDTqBtlhAbcquI5gK9NIOHCYvX1Irzxu-8lXaOFzfFy1Y34nsgr77YeAfnD3GcNLdP1YgHlW/s1600/B-StorchKappa.jpg" /></a></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18.0pt; line-height: 115%;">Λ</span><o:p></o:p></div>
</td>
<td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18.0pt; line-height: 115%;">λ</span><o:p></o:p></div>
</div>
</td>
<td align="center" valign="top" width="190"><br />
Lambda</td>
<td align="center" valign="top" width="200"><br /></td>
</tr>
<tr>
<td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18pt; line-height: 115%;">Μ</span><br />
<o:p></o:p></div>
</td>
<td align="center" valign="top" width="90"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 18pt; line-height: 115%;"><br /></span>
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18pt; line-height: 115%;">μ</span><br />
<o:p></o:p></div>
</td><td align="center" valign="top" width="190"><br />
<br />
Mü</td>
<td align="center" valign="top" width="200"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhmX93j0ChRs22Q8VVddD8zVXQA2QPcUCQDxTBs1bQbFwnVao5Ufj7qLLw_OUBbqtS1Mf2UksIh9mBtpGaNQGrCuovXksco99_K8XLSPiLxmOAWolyoLoc2W-H_t1jTSCw9lJ74u_RZ75Ug/s1600/B-KuhMu.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhmX93j0ChRs22Q8VVddD8zVXQA2QPcUCQDxTBs1bQbFwnVao5Ufj7qLLw_OUBbqtS1Mf2UksIh9mBtpGaNQGrCuovXksco99_K8XLSPiLxmOAWolyoLoc2W-H_t1jTSCw9lJ74u_RZ75Ug/s1600/B-KuhMu.jpg" /></a></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18.0pt; line-height: 115%;">Ν</span><o:p></o:p></div>
</td>
<td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18.0pt; line-height: 115%;">ν</span><o:p></o:p></div>
</td>
<td align="center" valign="top" width="190"><br />
Nü</td>
<td align="center" valign="top" width="200"><br /></td>
</tr>
<tr>
<td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18.0pt; line-height: 115%;">Π</span><o:p></o:p></div>
</td>
<td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18.0pt; line-height: 115%;">π</span><o:p></o:p></div>
</td>
<td align="center" valign="top" width="190"><br />
Pi</td>
<td align="center" valign="top" width="200"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiX3K_FXYeY5DBMDf5Vzgrk4jNlOj1OZqZV8S4yQn2V2XUl-az1VsuLIQgWIQkgOUmFBUfH79bunOzylfLYZ8kcoj7V2BhBcBp2pKXbft2xLkdnpipKolSbhlU7dzmdugvobaZxaSlOVmpZ/s1600/B-VogelPi.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiX3K_FXYeY5DBMDf5Vzgrk4jNlOj1OZqZV8S4yQn2V2XUl-az1VsuLIQgWIQkgOUmFBUfH79bunOzylfLYZ8kcoj7V2BhBcBp2pKXbft2xLkdnpipKolSbhlU7dzmdugvobaZxaSlOVmpZ/s1600/B-VogelPi.jpg" /></a></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" valign="top" width="90"><span style="font-size: 18pt; line-height: 115%;"><br /></span>
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18pt; line-height: 115%;">Ρ</span><br />
<div class="MsoNormal">
<o:p></o:p></div>
</td>
<td align="center" valign="top" width="90"><span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: large;">ρ</span></td>
<td align="center" valign="top" width="190"><br />
<br />
<br />
Rho</td>
<td align="center" valign="top" width="200"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg7bG02huJSb0jRmLKNPH_QqhHrTfT2uTdpFvXCBVH6n-7zkM9Rq_nfr_R41V0FQqQmlhIJjl5i8Fv3W1h1s9XVJ9alziIsJx1ie6j8K86NKKqGDfG0KpEZiCESlTJ0gFj_uMUlHNYtwRbl/s1600/B-GatoRho.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg7bG02huJSb0jRmLKNPH_QqhHrTfT2uTdpFvXCBVH6n-7zkM9Rq_nfr_R41V0FQqQmlhIJjl5i8Fv3W1h1s9XVJ9alziIsJx1ie6j8K86NKKqGDfG0KpEZiCESlTJ0gFj_uMUlHNYtwRbl/s1600/B-GatoRho.jpg" /></a></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18.0pt; line-height: 115%;">Σ</span><o:p></o:p></div>
</td>
<td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18.0pt; line-height: 115%;">σ</span><o:p></o:p></div>
</td>
<td align="center" valign="top" width="190"><br />
Sigma</td>
<td align="center" valign="top" width="200"></td></tr>
<tr><td align="center" valign="top" width="90"><span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: large;">Τ</span></td><td align="center" valign="top" width="90"><span style="font-size: 18pt; line-height: 115%;"><br /></span>
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18pt; line-height: 115%;">τ</span></td><td align="center" valign="top" width="190"><br />
Tau</td>
<td align="center" valign="top" width="200"><br /></td>
</tr>
<tr>
<td align="center" valign="top" width="90"><span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: x-large; line-height: 115%; mso-ansi-language: ES; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-hansi-theme-font: minor-latin;">Υ</span></td>
<td align="center" valign="top" width="90"><span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18pt; line-height: 115%;">υ</span><br />
<div class="MsoNormal">
<o:p></o:p></div>
</td>
<td align="center" valign="top" width="190"><br />
Ypsilon</td>
<td align="center" valign="top" width="200"><br /></td>
</tr>
<tr>
<td align="center" valign="top" width="90"><span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18pt; line-height: 115%;">Φ</span><br />
<div class="MsoNormal">
<o:p></o:p></div>
</td>
<td align="center" valign="top" width="90"><span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: x-large; line-height: 115%; mso-ansi-language: ES; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-hansi-theme-font: minor-latin;">φ</span></td>
<td align="center" valign="top" width="190"><br />
Phi</td>
<td align="center" valign="top" width="200"><br /></td>
</tr>
<tr>
<td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18.0pt; line-height: 115%;">Χ</span><o:p></o:p></div>
</td>
<td align="center" valign="top" width="90"><br />
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: x-large;">χ</span></td>
<td align="center" valign="top" width="190"><br />
Chi</td>
<td align="center" valign="top" width="200"><br /></td>
</tr>
<tr>
<td align="center" valign="top" width="90"><span style="font-size: 18pt; line-height: 115%;"><br /></span>
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18pt; line-height: 115%;">Ψ</span><br />
<div class="MsoNormal">
<o:p></o:p></div>
</td>
<td align="center" valign="top" width="90"><span style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-size: xx-small; line-height: 115%; mso-ansi-language: ES; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-hansi-theme-font: minor-latin;"><br /></span>
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: x-large; line-height: 115%; mso-ansi-language: ES; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-hansi-theme-font: minor-latin;">ψ</span></td>
<td align="center" valign="top" width="190"><br />
<br />
Psi</td>
<td align="center" valign="top" width="200"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh64zzYU4RH5eb2akG_cYDSPuTARPZ-UslsyfTxloAk6P6NnfS-uu7yLuY8Whoyp1v_QAI1lX94VYQNk-SeDxTKAb4husIPt4rKYY8aBb_XEmHjWrp2blksC-td8Ev-QNpotNAR7o58jh20/s1600/B-SerpientePsi.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh64zzYU4RH5eb2akG_cYDSPuTARPZ-UslsyfTxloAk6P6NnfS-uu7yLuY8Whoyp1v_QAI1lX94VYQNk-SeDxTKAb4husIPt4rKYY8aBb_XEmHjWrp2blksC-td8Ev-QNpotNAR7o58jh20/s1600/B-SerpientePsi.jpg" /></a></div>
<br /></td>
</tr>
<tr>
<td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18.0pt; line-height: 115%;">Ω</span><o:p></o:p></div>
</td>
<td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18.0pt; line-height: 115%;">ω</span><o:p></o:p></div>
</td>
<td align="center" valign="top" width="190"><br />
Omega</td>
<td align="center" valign="top" width="200"><br /></td>
</tr>
</tbody>
</table>
<div align="center">
<br />
<br /></div>
Carola Schmidt Iglesiashttp://www.blogger.com/profile/11199404495619110058noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7631960861280032807.post-55934686842600574932013-05-06T10:52:00.000+02:002013-05-06T13:05:21.852+02:00Wie kann ich meine Mathe-Noten verbessern?<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjw9FCBlQtg83h127ZgoW2NOsId6RIhh63iBLDWmYS4Esmd9pNfIrS7li07aLXMTeg7iVyUW5sAdKzCpR07wheRnr2QdUH-oz2qbuMn52eQjhKrh_80BN_2uVuSaqhZLNFdkBFDafz-AaTd/s1600/MatheTippBasisFruehling.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjw9FCBlQtg83h127ZgoW2NOsId6RIhh63iBLDWmYS4Esmd9pNfIrS7li07aLXMTeg7iVyUW5sAdKzCpR07wheRnr2QdUH-oz2qbuMn52eQjhKrh_80BN_2uVuSaqhZLNFdkBFDafz-AaTd/s1600/MatheTippBasisFruehling.jpg" /></a></div>
<br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Versuche mal deine Hausaufgaben regelmäßig zu erledigen und am besten gleich an dem Tag, an dem man sie aufgibt, da dann die Zusammenhänge noch frisch in Erinnerung sind.</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Gehe dabei in drei Schritten vor:</span><br />
<ul>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Nimm dein Mathe-Heft/-Hefter und verbessere die letzte Hausaufgabe, wenn diese fehlerhaft war.</span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Überprüfe deine letzte <a href="http://mathe-physik-csi.blogspot.com/2013/04/wie-kann-ich-meine-noten-verbessern.html">Mathenotizen</a>: </span></li>
<ul style="font-family: Verdana, sans-serif;">
<li>Präge dir die neuen Begriffe gut ein und lerne die neue Merksätze auswendig.</li>
<li>Vergleiche gegebenenfalls mit dem passenden Kapitel im Buch.</li>
<li>Arbeite alle Beispielaufgaben gründlich durch. Wenn du etwas nicht verstanden hast, schreibe deine Fragen am <a href="http://mathe-physik-csi.blogspot.com/2013/04/wie-kann-ich-meine-noten-verbessern.html">Notizenrand</a> und stelle sie bei der nächsten Matheaufgabenbesprechung.</li>
</ul>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Erledige jetzt die neuen Hausaufgaben</span></li>
</ul>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">........... und wenn du die Hausaufgabe nicht lösen kannst, dann:</span></div>
<div>
<ul><ul>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Rechne die Musteraufgaben der letzten Stunde noch einmal auf einem Blatt und lies gegebenenfalls das passende Kapitel im Buch</span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Dann rechne so weit wie du kommst mit der neuen HA und wenn du sie nicht völlig lösen kannst, schreibe deine Frage in dein Heft, damit dir dein Lehrer in der nächsten Stunde helfen kann.</span></li>
</ul>
</ul>
</div>
Carola Schmidt Iglesiashttp://www.blogger.com/profile/11199404495619110058noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7631960861280032807.post-39699693010571973542013-04-20T18:15:00.000+02:002013-04-21T10:41:12.131+02:00Mehrdeutigkeit bei der Abbildung dreidimensionaler Körper und Training des räumlichen VorstellungsvermögenNicht jeder kann leicht die Lage eines Objektes im Raum auf ein Blatt Papier perspektivengetreu wiedergeben oder umgegekehrt anhand von maßstabs- und proportionsgetreuen zweidimensionalen Zeichnungen die Lage des Objekts im dreidimensionalen Raum erkennen.<br />
Dafür braucht man künstlerische Fähigkeiten und eine gute räumliche Vorstellungskraft, die man auch mit etwas Übung steigern kann. Das Letztere werden wir heute hier ein bisschen versuchen unter Anwendung einiger Hilfsmittel der analytischen Geometrie (ein Koordinatensystem und Koordinaten zur eindeutigen Bezeichnung der Lage im Raum von Punkten).<br />
<br />
Bei jeder zweidimensionalen Abbildung eines dreidimensionalen Körpers verliert man etwas Information, auch wenn die Zeichnung perfekt erstellt wurde. Dieser Informationsverlust kann Mehrdeutigkeiten bzw. <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Optische_T%C3%A4uschung">optische Täuschungen</a> verursachen. Die Abbildung eines durchsichtigen Würfels lässt zum Beispiel zwei Interpretationen zu:<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhXGkcXlTwkG3GbL9sSHqhOuiVyWkvEohlcIDSjolwZLxNw4_64pwH1ZvGsFV4p34Tp2oomJwGZTXwFRIAWrPNKJobCCMStk8-3UpYhyqebfZTRmCgO3OGJnH8dBwQFo0oIQmA2f3R9alsU/s1600/CuboBlauWechselndePerspektive.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="280" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhXGkcXlTwkG3GbL9sSHqhOuiVyWkvEohlcIDSjolwZLxNw4_64pwH1ZvGsFV4p34Tp2oomJwGZTXwFRIAWrPNKJobCCMStk8-3UpYhyqebfZTRmCgO3OGJnH8dBwQFo0oIQmA2f3R9alsU/s320/CuboBlauWechselndePerspektive.jpg" width="320" /></a></div>
Bei einer Sichtweise blicken wir von oben rechts (die grüne Würfelseite ist in diesen Fall die hintere Seite des Würfels) und bei der anderen von unten links auf den Würfel (die grüne Seite ist nun die vordere Seite des Würfels).<br />
Es fällt einem nicht immer leicht, von einer Sichtweise in die andere umzuschalten.<br />
Diese zwei Sichtweisen erkennt man vielleicht etwas besser, wenn der Würfel nur halbdurchsichtig ist:<br />
<div style="text-align: left;">
</div>
<div style="text-align: right;">
</div>
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh3tmFb5pQen2pcTgKhb7l3qEj4kOmn1gbkWZPBJtUM3BKNADpE23O2CNItO6C8LYdtyjHMbNxBOdRIwv7tYkw7eZHfSEmz9n3Pl8UIOA751fLLLYX10UEIioK3h5qK-BJREE0vrp7G9XGF/s1600/CuboBlauHinten-Vorn.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh3tmFb5pQen2pcTgKhb7l3qEj4kOmn1gbkWZPBJtUM3BKNADpE23O2CNItO6C8LYdtyjHMbNxBOdRIwv7tYkw7eZHfSEmz9n3Pl8UIOA751fLLLYX10UEIioK3h5qK-BJREE0vrp7G9XGF/s1600/CuboBlauHinten-Vorn.jpg" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Vorderseite: weiß - Hinterseite: grün Vorderseite: grün - Hinterseite: weiß<br />
Die punktierte Linien deuten verdeckte Kanten an.</td></tr>
</tbody></table>
<br />
und noch viel besser, wenn man den Würfel bzw. Einheitswürfel in ein rechtwinkliges Koordinatensystem plaziert und die Koordinaten einiger seiner Eckpunkte angibt:<br />
<br />
<div style="text-align: left;">
</div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEidUjim1OoFzBt_jRXbznGyHvXsGn0jV8wtaEqSB_3YuN7HIH4EulpVUNNEdQUl0fbC2uFmi-4I365tUwdWHjbYRb3HFzsY_YuX9p9GzqUWLLE7S7bGHdF_685Ceeal1tZ0SbqTe55SH-J6/s1600/CuboBlauHinten-VornVektor.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEidUjim1OoFzBt_jRXbznGyHvXsGn0jV8wtaEqSB_3YuN7HIH4EulpVUNNEdQUl0fbC2uFmi-4I365tUwdWHjbYRb3HFzsY_YuX9p9GzqUWLLE7S7bGHdF_685Ceeal1tZ0SbqTe55SH-J6/s1600/CuboBlauHinten-VornVektor.jpg" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Vorderseite: weiß - Hinterseite: grün Vorderseite: grün - Hinterseite: weiß<br />
Der Eckpunkt (000) liegt hinter der Der rot eingetragene Diagonalvektor<br />
halbdurchsichtigen weißen Vorderseite geht vom Urspung (000) zum Punkt (111)<br />
<br /></td></tr>
</tbody></table>
Hier ein weiteres Beispiel, das sich auf dem selben Problem des Informationsverlustes basiert:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjVaxyPJD8S2WN4bWsL-6lhfHyUGSCz-ZvhZrO60EmqKga1Di_hhhutrDzotoI_NIAGuMfR4fOCIxD7KqMom4eWbAWTE0MgHUT6ywuXvrYjQeR-Vm2_bYNKFq1PGbMvGQZBdrmdDXzegMyJ/s1600/Cubos3CambioPerspectiva.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="243" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjVaxyPJD8S2WN4bWsL-6lhfHyUGSCz-ZvhZrO60EmqKga1Di_hhhutrDzotoI_NIAGuMfR4fOCIxD7KqMom4eWbAWTE0MgHUT6ywuXvrYjQeR-Vm2_bYNKFq1PGbMvGQZBdrmdDXzegMyJ/s320/Cubos3CambioPerspectiva.jpg" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
Man kann in diesem Fall ein oder zwei Würfel erkennen:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhRd7HIifOEmBkhQtnVUeTybJ0UvQwqFVDDdLmgqWSYzkdhlXNk4O0WpMheP6pGLZaGk1MVX1ARhBnMblITjhHEvy70YRWITEWIPftYtL2JPD3l8y7pVKf146ZUcxoQek_M5RO2Jmpm0Yk0/s1600/Cubos3CambioPerspEjes.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhRd7HIifOEmBkhQtnVUeTybJ0UvQwqFVDDdLmgqWSYzkdhlXNk4O0WpMheP6pGLZaGk1MVX1ARhBnMblITjhHEvy70YRWITEWIPftYtL2JPD3l8y7pVKf146ZUcxoQek_M5RO2Jmpm0Yk0/s1600/Cubos3CambioPerspEjes.jpg" /></a></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="text-align: left;"></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="text-align: left;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Koordinatenachsen, Koordinaten der Punkte und punktierte Hilfslinien erleichtern die Veranschaulichung eines dreidimensionalen Körpers in einer zweidimensionalen Zeichnung und entfernen Mehrdeutigkeiten. Sie ersparen aber einem nicht unbedingt das Weitertrainieren für ein besseres räumliches Vorstellungsvermögen. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Weitere interaktive Trainingsübungen zum räumlichen Vorstellungsvermögen und zur Einführung in die analytische Geometrie kannst du auf der Blog-Seite <a href="http://mathe-physik-csi.blogspot.com.es/p/mathe-sek-i.html">Lin. Algebra Sek. II</a> (Tabelle 2, Zeile 1) finden.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Zum Abschluss noch zwei lustige Bilder zu zweideutige Konstruktionen:</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjCrXi4c7hE_y2Fl3Aoj1eS9DsC8XtEBlwTzf7bAMBOlssr8ewjRmG6kB-EBjIE5L7RFBlOL5pxwHQV5chozgzdLGmedss71tkqjcP67mVIiBAdzJd8eZ719j6yBqgHqI23qEe8Lsok8fgz/s1600/Cubo-ilusion-chess.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjCrXi4c7hE_y2Fl3Aoj1eS9DsC8XtEBlwTzf7bAMBOlssr8ewjRmG6kB-EBjIE5L7RFBlOL5pxwHQV5chozgzdLGmedss71tkqjcP67mVIiBAdzJd8eZ719j6yBqgHqI23qEe8Lsok8fgz/s1600/Cubo-ilusion-chess.jpg" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgFWYh947ywZWo224si6zAlf0juU98VyW2vV3uhM40v4P9C-0Jz3Hvg_rzicxC9XXoykNedz4ScuLNJBDWt45xNES2P7oSZ9sw1aV6eAuMgeAN1skP5NCoiDTFKg3FMlPQLDfT3CuJvvNl5/s1600/Cubos_perspectiva-Static4.cuantarazon.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgFWYh947ywZWo224si6zAlf0juU98VyW2vV3uhM40v4P9C-0Jz3Hvg_rzicxC9XXoykNedz4ScuLNJBDWt45xNES2P7oSZ9sw1aV6eAuMgeAN1skP5NCoiDTFKg3FMlPQLDfT3CuJvvNl5/s640/Cubos_perspectiva-Static4.cuantarazon.jpg" width="424" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Durch die Perspektive getäuscht</td></tr>
</tbody></table>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<a href="http://3.bp.blogspot.com/-V6Gmtj3edO0/UXKm_DGvVfI/AAAAAAAABQ4/LhUxS7PXjcI/s1600/Cubos3CambioPerspectivaEjes1.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><br /></a><a href="http://3.bp.blogspot.com/-V6Gmtj3edO0/UXKm_DGvVfI/AAAAAAAABQ4/LhUxS7PXjcI/s1600/Cubos3CambioPerspectivaEjes1.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><br /></a><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://3.bp.blogspot.com/-V6Gmtj3edO0/UXKm_DGvVfI/AAAAAAAABQ0/Tqsg8xp3ass/s1600/Cubos3CambioPerspectivaEjes1.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://3.bp.blogspot.com/-NcfVWRzYHf8/UXKl4zUK-aI/AAAAAAAABQc/2TxieIFFlCE/s1600/Cubos3CambioPerspectivaEjes1.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"></a></div>
Carola Schmidt Iglesiashttp://www.blogger.com/profile/11199404495619110058noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7631960861280032807.post-72754645703124667082013-04-14T00:17:00.000+02:002013-04-26T19:50:12.826+02:00Mathetraining mit Gleichungssysteme<br />
<table border="1" cellpadding="2" cellspacing="2" style="width: 580px;">
<tbody>
<tr>
<td valign="top"><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhc96CSXeKDpBaD04U2j7oVdw60VkwMaRCvhXja_Ny_uepASciWpcajaWQOKzKjueLXg3FHnI_3Ef5Yn33UenK3iQva-TwyT-bSQeG0dCfn0ZOdJR3LeY7-DUnXBmA_YWWKQQcxTvq_0JZw/s1600/EqElementos.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="139" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhc96CSXeKDpBaD04U2j7oVdw60VkwMaRCvhXja_Ny_uepASciWpcajaWQOKzKjueLXg3FHnI_3Ef5Yn33UenK3iQva-TwyT-bSQeG0dCfn0ZOdJR3LeY7-DUnXBmA_YWWKQQcxTvq_0JZw/s320/EqElementos.jpg" width="320" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Wie viele rote Karos erfüllen die Gleichung?</td></tr>
</tbody></table>
<br /></td>
<td align="center" valign="top" width="150"><br />
<br />
<br />
Anschauungsvermögen<br />
und<br />
Kreativität</td>
</tr>
<tr>
<td valign="top"><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhMwPS6AARHCcz8mt5mLVPxF0-vfV6A9ijIJWedeM3UddOsOURl4ytqYxyjT5UJDovIltrFP23wBm36pFBwxzAewwHKZyUIcw6YDqmTIi443oNIttp4bocA11yb840lCndsC3G6BsHR1jTz/s1600/SisEq3Pasos.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="171" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhMwPS6AARHCcz8mt5mLVPxF0-vfV6A9ijIJWedeM3UddOsOURl4ytqYxyjT5UJDovIltrFP23wBm36pFBwxzAewwHKZyUIcw6YDqmTIi443oNIttp4bocA11yb840lCndsC3G6BsHR1jTz/s320/SisEq3Pasos.jpg" width="320" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Ermittle v in höchstens drei Rechenschritte</td></tr>
</tbody></table>
<br /></td>
<td align="center" valign="top" width="150"><br />
<br />
Einfallsreiche<br />
Kombinationsfähigkeit</td>
</tr>
<tr>
<td valign="top"><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi3jn7_3rlLqO95bxbxRyGcP_WcJpOL_tGQ6AQr_Dyz506VIqTSbDu1zVwibaOqWtqn0ILK3Pu1TNC0_In72a_FHEKFTSyMhHpRavijN__KSFSSU1v1cjyMd6Vi9DNdgCZhH43jIb73s-rR/s1600/SisEqGauss.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="180" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi3jn7_3rlLqO95bxbxRyGcP_WcJpOL_tGQ6AQr_Dyz506VIqTSbDu1zVwibaOqWtqn0ILK3Pu1TNC0_In72a_FHEKFTSyMhHpRavijN__KSFSSU1v1cjyMd6Vi9DNdgCZhH43jIb73s-rR/s320/SisEqGauss.jpg" width="320" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Lineare Gleichungssysteme kann man systematisch mit dem gaußschen Eliminationsverfahren lösen</td></tr>
</tbody></table>
<br /></td>
<td align="center" valign="top" width="150"><br />
Abstraktion</td>
</tr>
<tr>
<td valign="top"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
Hier einige Lern- bzw. Übungsmaterialien zum gaußschen Eliminationsverfahren oder kurz Gauß-Verfahren:<br />
<ul>
<li> <a href="https://docs.google.com/file/d/0B2bPuBZIB0ToSUhsc0l5R2dQMDA/edit?usp=sharing">Gauß-Verfahren illustriert an einem Beispiel</a> (pdf-Dokument)</li>
<li> <a href="https://docs.google.com/file/d/0B2bPuBZIB0TodDdTUVBPMm9zWlE/edit?usp=sharing">Übungsblatt</a> mit Textaufgaben aus Alltagssituationen, Chemie, Analysis + <a href="https://docs.google.com/file/d/0B2bPuBZIB0ToVlk4QmFNdXFGbk0/edit?usp=sharing">Lösungsblatt</a></li>
<li><a href="http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme.htm">Gauß-Rechner</a> (von Arndt Brünner) zum Üben und Überprüfen der einzelnen Rechenschritte</li>
</ul>
</td>
<td align="center" valign="top" width="150"><br />
Übung<br />
<br /></td>
</tr>
</tbody>
</table>
<br />Carola Schmidt Iglesiashttp://www.blogger.com/profile/11199404495619110058noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7631960861280032807.post-55324677188171941492013-04-09T23:31:00.000+02:002013-09-16T01:17:41.022+02:00Welche Unterrichtsnotizen sind die besten?Bart Simpson hat gerade gemerkt, dass er seine Mathenotizen verloren hat. Er hat überall gesucht und findet sie nicht. Er ist jetzt ganz verzweifelt, weil er sich nicht für die Mathearbeit zu lineare Gleichungssysteme vorbereiten kann ....<br />
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj8KhgBc81yXikAS0yI9Ma2wTAsP1_GGUqUCo_p5YzApE_y905PtBJrYaS8f8Zo2Je-OmlL38R3xCEaq2Vx7EMhBZVZjAyEklVaNkHELgc1jvitAstFss8CNX5joUjzzcBnqAgTlfAzQpRJ/s1600/WorstDayAnim.gif" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj8KhgBc81yXikAS0yI9Ma2wTAsP1_GGUqUCo_p5YzApE_y905PtBJrYaS8f8Zo2Je-OmlL38R3xCEaq2Vx7EMhBZVZjAyEklVaNkHELgc1jvitAstFss8CNX5joUjzzcBnqAgTlfAzQpRJ/s1600/WorstDayAnim.gif" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Das ist der schlimmste Tag meines Lebens</td></tr>
</tbody></table>
<br />
Sein Vater Homer hat es erfahren und gibt nun Bart einen guten Ratschlag.....<br />
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiiy1s46yKH5Of5P4O7o55bPdZ-fk-l586csg_KLOTFkpkC4TaNlWFsvwqooCaTVwRlmWXUUk-AB7SgqSeb8XXyV6oPLbAaG9y70kFaSp82FNcGDskKLPbinzmhOxTlNOh3DmRE-JXlycjS/s1600/WorstDaySoFar-Anim.gif" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiiy1s46yKH5Of5P4O7o55bPdZ-fk-l586csg_KLOTFkpkC4TaNlWFsvwqooCaTVwRlmWXUUk-AB7SgqSeb8XXyV6oPLbAaG9y70kFaSp82FNcGDskKLPbinzmhOxTlNOh3DmRE-JXlycjS/s1600/WorstDaySoFar-Anim.gif" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Der schlimmste Tag deines Lebens bis jetzt!</td></tr>
</tbody></table>
<br />
Es gibt immer einen Ausweg und in diesem Fall kann Bart relativ leicht aus der verzweifelten Situation rauskommen: es fehlen noch drei Tage bis zur Mathearbeit und er kann noch morgen Klassenkameraden darum bitten, ihm seine Notizen über Gleichungssysteme kurz auszuleihen, um sie zu fotokopieren.<br />
<br />
Bart hat am nächsten Tag die Notizen von zwei Schulfreunde fotokopieren können (zwei weil er nicht ganz sicher war, ob seine Freunde immer im Unterricht aufpassen und richtig mitschreiben, obwohl einer von ihnen sogar versucht seine Notizen im <a href="http://mathe-physik-csi.blogspot.com.es/2013/04/wie-kann-ich-meine-noten-verbessern.html">Cornell-Stil</a> zu machen).<br />
<br />
Im folgenden wird ein Auszug der Notizen (auf deutsch!) seiner Freunde (Mark und Klaus) aufgeführt.<br />
Welche meinst du sind die besten für die Vorbereitung auf die Mathearbeit? Und warum?<br />
<br />
Notizen von Mark:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgdJNMAzsrsHpvy0TaIGcqjxSS4mJPB0BlE7waWGMq0r0JlgUobjOdUSK5iAGJ21PJPstr4iuhpvb6bZ7ywqZCSnnyFn6sVMU_-iUCESY7SeDZr70EK6vdZDgWO0KUXiopoi8WvtgTvt9y5/s1600/NotizenGlS-B3.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgdJNMAzsrsHpvy0TaIGcqjxSS4mJPB0BlE7waWGMq0r0JlgUobjOdUSK5iAGJ21PJPstr4iuhpvb6bZ7ywqZCSnnyFn6sVMU_-iUCESY7SeDZr70EK6vdZDgWO0KUXiopoi8WvtgTvt9y5/s1600/NotizenGlS-B3.jpg" /></a></div>
<br />
Notizen von Klaus:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhsQns25YpTGJQkz2DkWwEvDBgbRcLN6UTHWJyP7Ke6DFzul1R_k5UComNMzo1hK8qKtqxrOfkRC1hOdlpvz-aOTBZmqO6LFmj9GuLmeKG4cqXXWyer-JKrAJlkUlt1MAGryf0bU3Hh2Nvl/s1600/NotizenGlS-B1-1.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhsQns25YpTGJQkz2DkWwEvDBgbRcLN6UTHWJyP7Ke6DFzul1R_k5UComNMzo1hK8qKtqxrOfkRC1hOdlpvz-aOTBZmqO6LFmj9GuLmeKG4cqXXWyer-JKrAJlkUlt1MAGryf0bU3Hh2Nvl/s1600/NotizenGlS-B1-1.jpg" /></a></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi2O2oXWCOGOHH04leVBbGf9LpWTapAcl0bNr4fW275VhWmDSKXSc_Yk1wlQWoHieLHptISdEworrgqqJadG4FxLPZ7ZWwU-XR9OKmmVEfI0MiBJuKMAsOaCot2wM_pJdwscIXGjlTOJTGT/s1600/NotizenGlS-B1-2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi2O2oXWCOGOHH04leVBbGf9LpWTapAcl0bNr4fW275VhWmDSKXSc_Yk1wlQWoHieLHptISdEworrgqqJadG4FxLPZ7ZWwU-XR9OKmmVEfI0MiBJuKMAsOaCot2wM_pJdwscIXGjlTOJTGT/s1600/NotizenGlS-B1-2.jpg" /></a></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Klaus hat seine Notizen im annähernd <a href="http://mathe-physik-csi.blogspot.com.es/2013/04/wie-kann-ich-meine-noten-verbessern.html">Cornell-Stil</a> gemacht. (Mehr über das Cornell-Notizsystem auf diese englischen <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Cornell_Notes">Wikipedia-Seite</a>)</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Findest du dieses Notiz-System praktisch?</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<u>Ratschlag</u>: Versuche die Gründe für deinen Notizvorzug in deine eigene Unterrichtsnotizen anzuwenden.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<b>Mit den eigenen gut gemachten Notizen lernt man am bestem!</b></div>
<br />Carola Schmidt Iglesiashttp://www.blogger.com/profile/11199404495619110058noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7631960861280032807.post-30681892501595830842013-04-08T21:00:00.000+02:002013-09-16T01:13:13.777+02:00Wie kann ich meine Noten verbessern?<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgp5SLYWK4oVH0iB5kn37AAScZpVoATMj4jD8_j5PqTEMo3oO2DDjOo9-HyOxxmnDyuW74ymCn_yOtrnDq41K8gukugfU_vq4lyl2HqnwwdnaomA3umYJr_NN55dCrnHdmmR2RdojpUou02/s1600/TippMitschriftCalHobb1.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgp5SLYWK4oVH0iB5kn37AAScZpVoATMj4jD8_j5PqTEMo3oO2DDjOo9-HyOxxmnDyuW74ymCn_yOtrnDq41K8gukugfU_vq4lyl2HqnwwdnaomA3umYJr_NN55dCrnHdmmR2RdojpUou02/s1600/TippMitschriftCalHobb1.jpg" /></a></div>
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgAhqDMtEsuuXLd4DRFz0zLX7McjrJvfnAq7i9AAsI4s-8OBQNZJaEDW1PC4mnQj1inG7fK0Dke0ZpbITSXXSLj8Z_pNTk555HkbJyolDzX-154CvljNjldpp3XS8ROoPP3iXaaBkB3P7RZ/s1600/TippMittschriftCalHob2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgAhqDMtEsuuXLd4DRFz0zLX7McjrJvfnAq7i9AAsI4s-8OBQNZJaEDW1PC4mnQj1inG7fK0Dke0ZpbITSXXSLj8Z_pNTk555HkbJyolDzX-154CvljNjldpp3XS8ROoPP3iXaaBkB3P7RZ/s1600/TippMittschriftCalHob2.jpg" /></a></div>
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjarArReVxp8KJTNLzSA_FpR9T-FYe2Qva7dv1iikF5vN0-ZmkHpaetpEPV1cpcyoNvqEc-ZbVEtZuAUUHktoJzBUlJXI1uLjfCwWxkGqJUGm6hmvg6oKKzpr8Lp_MkpBEqgr9DISxlK5O-/s1600/ApuntesWarumTisch.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjarArReVxp8KJTNLzSA_FpR9T-FYe2Qva7dv1iikF5vN0-ZmkHpaetpEPV1cpcyoNvqEc-ZbVEtZuAUUHktoJzBUlJXI1uLjfCwWxkGqJUGm6hmvg6oKKzpr8Lp_MkpBEqgr9DISxlK5O-/s1600/ApuntesWarumTisch.jpg" /></a></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiQ7hwD050cpq-GAZfIwdkjS7q5jQABVPM4OLB7KRy7JUUJ1BAgsAbTmzub9ebiokwEkcGGKY-S_QTzUefL0TkM79SNQu2IefMUP4iBf9nq1CLbmCtebRjGC97es9-wSXmK0utshmDSR5B8/s1600/TippMitschrift3CalHobb.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiQ7hwD050cpq-GAZfIwdkjS7q5jQABVPM4OLB7KRy7JUUJ1BAgsAbTmzub9ebiokwEkcGGKY-S_QTzUefL0TkM79SNQu2IefMUP4iBf9nq1CLbmCtebRjGC97es9-wSXmK0utshmDSR5B8/s1600/TippMitschrift3CalHobb.jpg" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
</div>
<ol>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Schreibe eine Überschrift: Datum der Unterrichtsstunde und die Bezeichnung des Themas.</span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Notiere sauber die Hauptaussagen (Tafelaufzeichnungen, wichtige Erklärungen) und die Lösungsschritte der durchgeführten Übungen.</span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Erlaube genügend Raum um spätere Ergänzungen und gegebenenfalls Korrekturen vornehmen zu können. </span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Lass einen Rand frei für spätere Anmerkungen oder Symbole zur Markierung von Besonderheiten (z.B. wichtig (!) oder verstehe nicht (?) oder Definition...), die dir das Nachlernen erleichtern werden und gegebenenfalls daran erinnern, den Lehrer am nächsten Tag über das was du nicht verstehst zu fragen.</span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Trage die erteilte Hausaufgaben ein.</span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Fertige deine Mitschrift vorzugsweise auf gelochten DIN-A4-Blättern an (für Mathe, Physik und Chemie am Besten kariertes Papier), die du dann gleich in der richtigen Reihenfolge in deine Mappe heften kannst. Dies hat den Vorteil gegenüber einem Heft für jedes Fach, dass du später noch ergänzende Informationsblätter geordnet hinzufügen kannst.</span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Sehr nützlich für die Erstellung von übersichtliche Notizen zum effizienten Lernen und zur Wiederholung des Lernstoffs ist das Cornell-Notiz-System, das im folgenden Bild veranschaulicht wird:</span></li>
</ol>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgwFqrOpQQzLoKTCDIGk2slnkT8lLchFjp9C0yrTGdhp61xba5rHYbe9_HcDMuFLt03ORISDUewWW1tUR2jHccp1ueEg6f9BKuZeJYJAMvu2963lbxK9FYaDlPL0vc308ARlKChWaheevFM/s1600/ApuntesCornellEinteilung.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgwFqrOpQQzLoKTCDIGk2slnkT8lLchFjp9C0yrTGdhp61xba5rHYbe9_HcDMuFLt03ORISDUewWW1tUR2jHccp1ueEg6f9BKuZeJYJAMvu2963lbxK9FYaDlPL0vc308ARlKChWaheevFM/s1600/ApuntesCornellEinteilung.jpg" /></a></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<br />
<br />Carola Schmidt Iglesiashttp://www.blogger.com/profile/11199404495619110058noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7631960861280032807.post-59645672507715746582013-03-31T12:27:00.000+02:002013-08-12T17:20:21.096+02:00Schokolade ohne EndeIn vielen Ländern ist es Tradition, zu Ostern Süßwaren aus Schokolade zu schenken, vorzugsweise in Hasen- oder Eier-Form.<br />
Man hat nun herausgefunden, dass wenn man die Schokoladensüßigkeit auf eine ganz besondere Art schneidet, dann kann man immer wieder mal ein kleines Stückchen davon essen, ohne dass sich die Schokoladenfigur ändert, weil sich die Schokolade zauberhaft immer wieder selbst erstellt.<br />
<br />
Ist das nicht toll?<br />
Und wie ist das möglich?<br />
<br />
Hier ist ein Beispiel mit einer Schokoladentafel:<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi7a6YAuXS5ZGaNRb8Lnsz7NzO6d5l_bbkmEvs30z5pPxbJ1GFyqPlqPmNKbeFTGdKNI4qz9lVzeFChJCqN1jaVm6woNSq5uqZzeh220Fgm4kRNMQba6uwXLNlvfbbtU2UvgdtkIYu1Ugij/s1600/SchokoladentafelAnim.gif" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi7a6YAuXS5ZGaNRb8Lnsz7NzO6d5l_bbkmEvs30z5pPxbJ1GFyqPlqPmNKbeFTGdKNI4qz9lVzeFChJCqN1jaVm6woNSq5uqZzeh220Fgm4kRNMQba6uwXLNlvfbbtU2UvgdtkIYu1Ugij/s400/SchokoladentafelAnim.gif" width="307" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><a href="http://i.imgur.com/qjjlkGm.gif">http://i.imgur.com/qjjlkGm.gif</a></td></tr>
</tbody></table>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Falls einem diese Animation nicht völlig überzeugt, gibt es auch ein Video, das diese zauberhafte Vorgehensweise anschaulich vorführt, obwohl nicht mit Schokolade, sondern mit einem großen Kachelmodell:</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/3PszMaZ5Ipk?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
Welch ein Glück für die Schokoladenliebhaber!<br />
<br />
Wie ist das möglich?<br />
Tja, da muss man wohl ganz genau aufpassen! Hier ist ein Modell für eine nähere Untersuchung:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgWpVqPaavQbQ7Pq2tJdaoj8xHUMQ03i7Iylq5xl-skWBimcqA0PYxmGcWULTUqTiMe7jpkvbBtPioRjxCZsVZFasRWOeKn821VGTQ08twz1n4Nof3wgl-0FKWs4_-qVu2x3dvzALerBNZO/s1600/Model-Schokoladentafel-PostDeu.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgWpVqPaavQbQ7Pq2tJdaoj8xHUMQ03i7Iylq5xl-skWBimcqA0PYxmGcWULTUqTiMe7jpkvbBtPioRjxCZsVZFasRWOeKn821VGTQ08twz1n4Nof3wgl-0FKWs4_-qVu2x3dvzALerBNZO/s1600/Model-Schokoladentafel-PostDeu.jpg" /></a></div>
<div style="text-align: center;">
<a href="https://docs.google.com/file/d/0B2bPuBZIB0ToRlZnTDhEenlaTGc/edit?usp=sharing">Ausschneidbares Modell im PDF-Format</a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
Diese Vorgehensweise zur Gewinnung eines Extra-Stückchens Schokolade basiert sich auf eins der verschiedenen geometrischen Paradoxien (Paradoxon = scheinbar Unerklärbares), bei denen nach Zerlegung einer Fläche in verschiedene Flächenteile und anschließende Neuanordnung der Flächenteile eine neue Fläche entsteht, die anscheinend einen kleineren oder größeren Flächeninhalt aufweißt, weil nicht alle neu aneinandergelegte Stücke vollkommen lückenlos zusammenpassen.<br />
<br />
Weitere Beispiele zu ähnliche geometrische Paradoxien kann man auf der <a href="http://www.wundersamessammelsurium.info/mathematisches/parkett/">Wundersames-Sammelurium-Seite</a> finden.<br />
<br />
Dieses Schokoladen-Paradoxon basiert auf einem <a href="http://ztfnews.wordpress.com/2013/03/29/el-chocolate-infinito/">Eintrag des spanischen ZTFNews-Blogs</a>.Carola Schmidt Iglesiashttp://www.blogger.com/profile/11199404495619110058noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7631960861280032807.post-33396252468943261162013-03-22T17:02:00.000+01:002013-03-22T17:08:06.577+01:00Mathe-Tipp für Ostern<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiLG24Vdq-ze-4KVP5p5UgmAA4yYifJTTPMFDgS7bEJuElHqa1uThLOV7qbUG3D3iun1nkBC7JRWrKqwLjepfjd99oG-2c3oiv_cECTei1UzfKMiEZh1muQZ3Xj8LRDrQAQkQ5dHmsWsxY/s1600/MateconsejoBase.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiLG24Vdq-ze-4KVP5p5UgmAA4yYifJTTPMFDgS7bEJuElHqa1uThLOV7qbUG3D3iun1nkBC7JRWrKqwLjepfjd99oG-2c3oiv_cECTei1UzfKMiEZh1muQZ3Xj8LRDrQAQkQ5dHmsWsxY/s320/MateconsejoBase.jpg" width="279" /></a></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="color: red; font-family: Verdana, sans-serif;"><b>Genieße deine Ferien!</b></span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="color: red; font-family: Verdana, sans-serif;"><b><br /></b></span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="color: red; font-family: Verdana, sans-serif;"><b>Ich wünsche dir sehr schöne Osterferien!</b></span></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
Wenn Du während dieser Zeit eine Matheaktivität mit mir machen möchtest, dann setze dich bitte hierfür mit mir in Verbindung (-> <a href="http://mathe-physik-csi.blogspot.com.es/p/kontakt.html">Kontakt</a>)<br />
<br />
<br />
<br /></div>
Carola Schmidt Iglesiashttp://www.blogger.com/profile/11199404495619110058noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7631960861280032807.post-14599868126978352962013-03-17T19:54:00.000+01:002013-08-12T16:14:06.940+02:00Eine Frage der PrioritätenGemäß einem Facebook-Eintrag von letzter Woche (Donnerstag 14. März 2013) hat die Umfrage:<br />
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi6LCQOoQTihW9LwtWmfJgTU0-Q_NLOpZb1sunhgpxe8XEGiD3sEE7jvJMrsbcfHT05qafOwwaSE2WgfyzoVlbj2m3QBQ-9Eom2eW6QDg9tiHld9IiJJk5Klm5HZQD1eRAiNwFAmGOpkLA/s1600/Priority-ArchimedesLab.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="292" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi6LCQOoQTihW9LwtWmfJgTU0-Q_NLOpZb1sunhgpxe8XEGiD3sEE7jvJMrsbcfHT05qafOwwaSE2WgfyzoVlbj2m3QBQ-9Eom2eW6QDg9tiHld9IiJJk5Klm5HZQD1eRAiNwFAmGOpkLA/s400/Priority-ArchimedesLab.jpg" width="400" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><a href="https://www.facebook.com/ArchimedesLab">Archimedes Lab Knobelseite auf Facebook</a></td></tr>
</tbody></table>
<br />
zu folgende auffallende Ergebnisse geführt:<br />
<br />
148.000 Teilnehmer meinten, dass die Gleichung 1 ergibt,<br />
während 237.000 weitere Teilnehmer der Meinung waren, dass das Ergebnis der Gleichung 9 ist.<br />
Sogar bei Benützung eines Taschenrechners ergaben sich diese verschiedene Ergebnisse!<br />
<br />
Was meinen Sie dazu?<br />
Wer irrt sich und warum?<br />
<br />
(Kommentare zum richtigen Ergebnis -> <span style="font-size: x-small;"><a href="https://docs.google.com/file/d/0B2bPuBZIB0ToRHpxU0hKdW5xWVk/edit?usp=sharing">HIER KLICKEN</a> </span>)Carola Schmidt Iglesiashttp://www.blogger.com/profile/11199404495619110058noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7631960861280032807.post-41532842655073680512013-03-14T12:53:00.000+01:002013-03-14T18:23:15.599+01:00Heute ist ein besonderer Tag!<br />
Heute ist der 14. März, 14-3, folglich der <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Pi-Tag">Tag der Zahl Pi</a>, der sogar eigene Web-Seiten hat (<b><a href="http://www.piday.org/">Pi Day Web</a></b> oder <b><a href="http://pi314.at/">Pi-TagSeite</a></b>).<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgCKIvOi61z6uSIq4R06yJrI5VrjSLu-hFQ8sf90aZ7HS06szdkx6TbuKEytaIc32Z02xexHHXAbosc0FP3dQiQiL2zd2t6NGYnnSyO4jDXmwQH0jq3PY6LgiB3Zcz0ywHQGyXPIBDUk5o/s1600/DiaPi-ZTFNewsFiles.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="165" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgCKIvOi61z6uSIq4R06yJrI5VrjSLu-hFQ8sf90aZ7HS06szdkx6TbuKEytaIc32Z02xexHHXAbosc0FP3dQiQiL2zd2t6NGYnnSyO4jDXmwQH0jq3PY6LgiB3Zcz0ywHQGyXPIBDUk5o/s400/DiaPi-ZTFNewsFiles.jpg" width="400" /></a></div>
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Aber es immer wieder einige gibt, die nichts mitbekommen ...<br />
... wie der Professor John Frink<br />
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<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgIyq75AM5UrkKdRIavafLR7RlB7yiglppOy-tqrMRnTi2L9QuT5zsWRh-APVZ2Rz4y1NP1EYubLDRsG3lBV11cME-1gLTWVmb0dq31it_eypzXE__uHaYA77BvHnMYuVghVG-I-mNvwpc/s1600/ProfFrink.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgIyq75AM5UrkKdRIavafLR7RlB7yiglppOy-tqrMRnTi2L9QuT5zsWRh-APVZ2Rz4y1NP1EYubLDRsG3lBV11cME-1gLTWVmb0dq31it_eypzXE__uHaYA77BvHnMYuVghVG-I-mNvwpc/s640/ProfFrink.png" width="425" /></a></div>
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der immer noch meint, dass Pi genau gleich 3 ist ...<br />
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... oder andere, die überzeugt sind, dass Pi gleich 4 ist, weil sie es folgendermaßen bewiesen haben:<br />
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<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgBxrZ2HnAxPVdM4IEUkDmcfsRQGJ7_1WqL_-ivTOv5IUW7VMfLut382mvNb3nMD4yn81p4x-SBoWbzT6Z7J_aPv66GhGBg-lgGw8gUg68gXB1vehlYErDJSIYbtwBFLbP6_NU6EbbvtMg/s1600/pi-4.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgBxrZ2HnAxPVdM4IEUkDmcfsRQGJ7_1WqL_-ivTOv5IUW7VMfLut382mvNb3nMD4yn81p4x-SBoWbzT6Z7J_aPv66GhGBg-lgGw8gUg68gXB1vehlYErDJSIYbtwBFLbP6_NU6EbbvtMg/s320/pi-4.png" width="320" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="font-size: 13px;">Im <a href="http://ztfnews.wordpress.com/2013/03/14/feliz-dia-de-pi-2013/">Web der ZTFNews</a> gesehen</td></tr>
</tbody></table>
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Sie gehen von einem Kreis mit Durchmesser 1 und einem Viereck aus, der diesen Kreis umschreibt und daher einen Umfang von 4 Einheiten hat. Sie stellen fest, dass wenn man die Ecken umklappt, so wie im obigen Bild, bleibt der Umfang immer gleich und folglich muss der Kreisumfang auch gleich 4 sein:<br />
<div style="text-align: center;">
<span style="font-size: 14pt; line-height: 21px;">2 </span>• <span style="font-size: 16pt; line-height: 24px;">π </span><span style="font-size: 14pt; line-height: 21px;"> </span>• <span style="font-family: Calibri, sans-serif; font-size: 14pt; line-height: 21px;">r = </span><span style="font-size: 16pt; line-height: 24px;">π </span><span style="font-size: 14pt; line-height: 21px;"> </span>• D = <span style="font-size: 16pt; line-height: 24px;">π </span> = <span style="font-size: 19px; line-height: 21px;">4</span></div>
Daraus folgt:<br />
<div style="text-align: center;">
<span style="font-size: 16pt; line-height: 24px;"> <span style="color: red;"><b>π </b></span></span><span style="color: red;"><b> = </b></span><span style="font-size: 19px; line-height: 21px;"><span style="color: red;"><b>4</b></span> !!!</span></div>
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Das stimmt nicht mit der berühmten Archimedes-Annäherung überein!<br />
Wieso?<br />
Der Ausgangspunkt der Berechnung des Archimedes (287-212 v. Chr.) war der Einheitskreis, dem er zuerst regelmäßige 6-Ecke ein- und umschrieb. Er verdoppelte anschließend systematisch die Anzahl der Ecken um schließlich den Umfang von zwei 96-Ecke zu bestimmen. Er fand auf dieser Weise das der Pi-Wert zwischen folgende zwei Werte liegen muss:<br />
<div style="text-align: center;">
<img align="MIDDLE" alt="formula" height="45" src="http://www.cwscholz.net/projects/fba/feld172.gif" style="background-color: white;" width="98" /> </div>
Ein Zeitgenosse, Appollonius von Perga (262 - 190 v.Chr.), hat dann den Pi-Wert auf 3,1416 festgesetzt (Abweichung von rund 0,03% bezüglich des aktuellen Pi-Werts von 3,141592654........ (für mehr Dezimalstellen hier klicken<a href="http://www.esoesciencia.isdata.es/cosas/Millon-decimales-PI.pdf"> <b>aquí</b></a>)<br />
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Für mehr Informationen über die Pi-Zahl und Herleitungen der Kreiszahl Pi:<br />
- <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Kreiszahl">Die Kreiszahl Pi (Wikipedia.org)</a><br />
- <a href="http://www.cwscholz.net/projects/fba/">Die Geschichte der Approximationen der Zahl Pi</a>Carola Schmidt Iglesiashttp://www.blogger.com/profile/11199404495619110058noreply@blogger.com0