Spaß am Strand mit schöne geometrische Knobeleien

Man kann auch am Strand sehr gut Vergnügen an die Geometrie finden. Das zeigt uns Calvin Seibert mit seine geometrische Sandschlösser, die er über das ganze Jahr baut.

http://www.flickr.com/photos/45648531@N00/sets/72157594166672630/

Er kombiniert oft viele verschiedene geometrische Körper, aber auch nur mit Quadern schafft er eindrucksvolle Bauten

http://www.flickr.com/photos/45648531@N00/sets/72157594166672630/

Beim Betrachten oder Bauen dieser geometrischen Körper treten auch viele Fragen auf, wie z.B. diese:

KNOBELAUFGABE 1

Wir wollen zuerst mal Sandkonstruktionen aus 6 gleich große Quader bauen, und überlegen uns vorher wie man sie anordnen könnte, damit sie folgende Bedingungen erfüllen, wobei folgendes zu beachten ist:

Ein Quader fügt sich mit einem anderen Quader zu einem größeren oder abgestuften Quader zusammen, wenn eine der Flächen oder ein Teil einer Fläche eines Quaders mit einer Fläche oder einem Teil einer Fläche eines anderen Quaders in Berührung kommen. Wenn sich zwei Quader an einer Ecke oder einer Kante berühren, dann wird diese Kombination nicht als einen neuen zusammengefügten Körper betrachtet.

Fall A: Wie kann man 6 Quader anordnen, damit jeder Quader sich mit zwei andere und nur zwei andere zusammenfügt (Es sind mehrere Lösungen möglich.)

Fall B: Wie kann man 6 Quader anordnen, damit jeder Quader sich mit drei andere und nur drei andere zusammenfügt.

Fall C: Wie kann man 6 Quader anordnen, damit jeder Quader sich mit vier andere und nur vier andere zusammenfügt.

KNOBELAUFGABE 2

Im nachfolgenden Bild ist ein großer Sandquader zu sehen, der aus mehrere zusammengefügte Bausteine gebaut worden ist. Das schraffierte Eckbaustein wurde als Erstes aus 4 kleinere gleich große Würfel (Quader) zusammengebaut. Für diesen Eckbaustein gibt es 2 Würfelkombinationsmöglichkeiten. Welche?

KNOBELAUFGABE 3

Bei den Platonischen Körpern erfüllt sich eine mathematische Beziehung zwischen der Anzahl der Ecken e, der Anzahl der Flächen f und der Anzahl der Kanten k.

Platonische Körper

Diese Beziehung lässt sich durch Probieren oder Überlegung auch für andere geometrische Körper finden, wie z.B. Quader, Prismen, Pyramiden .... 

Wie lautet sie? Gilt sie auch für ein Treppengebilde des ersten Sandschlosses? (s. erste und untere Abb.)

KNOBELAUFGABE 4

Wir haben zwei Sandkasteneimer. In den einen passen 3 Liter und in den anderen 4 Liter. 

Und wir haben soviel Sand wie wir wollen. Nur, wie bekommt man genau 1 Liter Sand, um einen Sandwürfel mit einer Kantenlänge von 10 cm bauen zu können? Mit anderen Worten, wie kann man wissen, dass genau ein Liter Sand in dem einen Eimer drin sind?

(Lösungen anzeigen)

Alltagsphysik im Schwimmbecken

Hier eine Alltagsphysikfrage für die heißen Augusttagen, bei denen man gerne schwimmt oder längere Zeit in der Nähe von Wasser verbringt:

Einige Kinder spielen im kleinen fast kreisförmigen Schwimmbecken mit annähernd 5 Meter Durchmesser. Sie werfen ein Schlauchboot in den Pool, beladen das Boot mit 40 schwere Steine, setzen sich im Boot und nach etwas paddeln und viel lachen werfen sie die Steine im Wasser. Einer von den Kindern ist am Schwimmbeckenrand geblieben und beobachtet erstaunt das Wasser.

Was hätte ihn so in Erstaunen bringen können? Die Wasserstandsänderungen?
Wie ändert sich der Wasserstand während des Spielprozesses?

Wenn Sie nach ihren Überlegungen zum Archimedisches Prinzip und Auftriebeffekt auch noch experimentell nachprüfen möchten, wie sich der Wasserspiegel während des Spielprozesses verhält, ohne irgendwelche Steine in einem Pool zu werfen, dann können Sie es einfach mit einem vollen Glas Wasser oder sogar Messbecher (stell den Schwimmbecken dar), einem Kunststoffdeckel, der tief genug ist, um nicht im beladenen Zustand mit Wasser vollzulaufen (stell das Boot dar), und ein paar Münzen (stellen die schwere Steine dar) versuchen.

Überrascht? Ja, jeder Bauch irrt sich mal!

Hier können Sie einige Rechnungen finden, die das Versuchsergebnis erläutern.

Vermerk: diese Alltagsphysik-Frage ist auch ein Beispiel für beliebte Testfragen von Personalverantwortlichen, mit denen sie den Scharfsinn und Einfallsreichtum der Bewerber erproben (s. zum Beispiel die 5. Frage auf folgender Bewerbungs-Warmup-Seite)

Physikalische Gedankensplitter beim Zuschauen der Schwimm-WM 2013 in Barcelona

Die 15. Schwimmweltmeisterschaften finden jetzt in Barcelona statt: ein gute Gelegenheit um einige einfache und kurze Überlegungen über die Physik beim Schwimmen anzustellen.

Schwimmen ist eine wunderschöne sportliche Aktivität, in der die Wechselwirkung des Sportlers mit dem Medium (Wasser) eine große Rolle spielt. Die physikalische Charakterisierung dieser Wechselwirkung lässt sich auf die Untersuchung folgender Aspekte reduzieren:
- der Auftrieb, der das Schwimmen ermöglicht und senkrecht zur Schwimmrichtung wirkt
- der Antrieb, der die Fortbewegung im Wasser bewirkt und den man durch geeignete Arm- und Beinbewegungen erreicht
- der Widerstand, der gegen die Schwimmrichtung des Körpers wirkt und folglich abbremst

DER AUFTRIEB

Jeder Mensch schafft es, dank dem statischen Auftrieb, an der Wasseroberfläche zu treiben. Sein Körper schwimmt, wenn die Gewichtskraft FG auf dem Körper genauso groß ist wie die Auftriebskraft FA, wobei sich ein Teil seines Körpers außerhalb des Wassers befindet. (Ein Körper schwebt, wenn FG=FA und der ganze Körper unter der Wasseroberfläche bleibt, und würde sinken, wenn FG>FA) Nach dem Archimedes Gesetz ist die Auftriebskraft FA gleich der Gewichtskraft der vom Körper verdrängten Wassermenge:

FA = DW · VE · g

[Dichte des Wassers mal Volumen der verdrängten Wassermenge (= Volumen des eingetauchten Körperteils) mal Erdanziehungskonstante]

Die Gewichtskraft, die nach unten wirkt, ist nach dem Kraftgesetz von Newton:

FG = m·g = DK · VK · g

[Dichte des Körpers mal Volumen des ganzen Körpers mal Erdanziehungskonstante]

Mathematische Denkfrage bei 100% Frischluft

Es wird Nacht und drei junge Reisende entschließen im ersten Motel, der noch frei Zimmer hat, zu übernachten. Sie haben Glück: alle freie Zimmer sind mit Klimaanlage ausgestattet! 

Der Preis für ein Dreibettzimmer pro Nacht beträgt 90 €. Jeder bezahlt 30 € im voraus, weil sie am nächsten Tag ganz früh am Morgen losziehen wollen.
Nach einer Weile bemerkt der Motelbesitzer, dass der Preis an diesem Wochentag nur 85 € beträgt. Er schickt daher seinen Gehilfen mit den überschüssigen 5 € zurück zu den drei Reisenden. Dem Gehilfen fällt auf, dass sich 5 Euro schlecht auf drei Personen aufteilen lassen. Er beschließt folglich den jungen Reisenden nur 3 Euro zurückzugeben und die zwei übrigen Euro zu behalten. Nun haben die drei Reisenden jeweils 30 - 1= 29 € bezahlt, was insgesamt 87 Euro ergibt. Der Gehilfe hat 2 Euro behalten, das macht 89 Euro.
Aber ursprünglich lagen 90 Euro auf der Theke!
Wo ist der eine Euro geblieben?


Vermerk: diese Anekdote ist auch ein Beispiel für beliebte Testfragen von Personalverantwortlichen, mit denen sie den Scharfsinn und Einfallsreichtum der Bewerber erproben wollen.
Lösung

So weit das Auge reicht

Die Sommerschulferien haben schon vor zwei Wochen begonnen und die Möglichkeiten, den Kontakt mit der Natur zu genießen und sich dabei Überlegungen über Alltagsrätsel anszustellen, haben sich vervielfältigt...

Beim spazieren gehen durch den Landwirtschaftspark von Collserola (Sant Cugat del Valles, Barcelona) habe ich heute früh einige Fotos geknipst ........

Kornfeld beim Eingang zum Collserola Park

und mir dann die Frage gestellt, wie weit es wohl bis zum Horizont ist, wenn man auf einem ebenen Feldgelände steht oder am Meer ist und es weder atmosphärische Störungen noch massive Hindernisse (Bäume, Häuser, usw.) gibt, die die Sicht behindern, und wie sich diese unbehinderte Sichtweite ändern würde, wenn man das Horizont von einer höheren Beobachtungsstelle aus betrachten würde.

Sehr schöne unbehinderte Sichten hat man ja auch am Meer bzw. bei einer Schifffahrt, wenn die atmosphärische Bedingungen günstig sind....

Cap Roig an der Costa Brava

Eine Näherungsantwort zu meiner Fragestellung lässt sich mal wieder mit dem Satz des Pythagoras herleiten!
Hier eine kleine farbvolle Skizze um es zu veranschaulichen:

Die Erde ist nicht vollkommen rund, dennoch kann man sie für die annähernde Berechnung der Sichtweite als eine Kugel mit einem mittleren Radius von rund 6370 km identifizieren.

Die Sichtweite des Beobachters auf der Beobachtungsplattform (bzw. Abstand bis zum Horizont): x
Erdradius: r
Winkel zwischen x und r:  90º
Abstand des Beobachters vom Erdmittelpunkt: r + s    wobei s die Beobachtersichthöhe ist

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:        x² + r² = (r + s)²

und umgestellt nach x² erhält man:           x² = 2rs + r² = 2rs + s² = (2r + s) s

Da der Erdradius r sehr viel größer ist als die Beobachtersichthöhe s, kann man das s in der Klammer vernachlässigen und erhält:                      x² ≈ 2rs = 12.740 * s

Damit gilt für die Sichtweite (geometrische Entfernung) bis zum Horizont folgende einfache Formel:

                                                             x ≈ 113 * √¯s    [in km]

Im ebenen Gelände ist daher der Horizont bei 1,70 m = 0,0017 km Beobachtersichthöhe knapp 4,6 km entfernt. Ist man auf einer 30 m hohen Beobachtungsplattform (s = 0,03 km), dann hat man schon eine Sichtweite bis zum Horizont von fast 20 km!

In dieser annähernden Berechnung der geometrischen Entfernung bis zum Horizont sind allerdings keine Lichtbrechungseffekte in der Atmosphäre berücksichtigt worden, die je nach Wetterlage mehr oder minder stark sein können und die optische Sichtweite im Vergleich zur geometrischen Entfernung erheblich ändern können und in der Seefahrerwelt oft mit einem mittleren Faktor von ungefähr 1,1 berücksichtigt werden.

Bei Seefahrten bzw. am Meer kann man auch beobachten, dass man manchmal nur die Aufbauten anderer Schiffe sehen kann, die selbst aber hinter dem Horizont bleiben, oder nur die Bergspitzen einer entfernten Insel wie in der folgenden Skizze:

Wie weit kann man in diesem Fall sehen, wenn man im ebenen Gelände (ohne atmosphärische Störungen und ohne irgendwelche Lichtbrechungseffekte) von einem s Meter hohen Beobachtungspunkt einen b Meter hohen Berg sieht? Gibt es dafür auch eine einfache Formel? 

Blick vom Fabra-Observatorium (413 m, bei Collserola, Barcelona) auf die Bergumrisse der Insel Mallorca
Foto von Alfons Puertas Castro, 7. Dez. 2010 um 14 Uhr 

Johannisnacht und Wissenschaft bei Feuer

Heute Abend beginnt die Feierlichkeit der Sommer-Sonnenwende: die Johannisnacht, die Nacht der Lagerfeuer, Fackeln, Knaller, Böller und Feuerwerke... ¡Aber Vorsicht mit dem Feuer!

Johannisnacht in Barcelona

Erfahren Sie, wie vier Festgäste ein Problem mit dem Feuer zu lösen versuchten .......

Ein Pfarrer, eine Physikerin, ein Maschinenbauingenieur und ein Mathematiker befinden sich im letzten Stockwerk eines in Flammen aufgehenden Gebäudes.
Der einzige Ausweg um vor der Hitze nicht umzukommen, ist aus dem Fenster in das Schwimmbecken auf der Dachterrasse des nächsten und etwas niedrigeren Gebäudes zu springen.... ¡Der Sprung ist allerdings nicht leicht!

Der Pfarrer setzt sich auf dem Fenstersims, betet und springt ab.... Er landet im Schwimmbecken, knapp einige Zentimeter von der Schwimmbeckenkante entfernt.

Die Physikerin schätzt die Windgeschwindigkeit, den waagrechten Abstand zwischen Fenster und Schwimmbeckenmitte, den Höhenunterschied zwischen Fenster und Schwimmbecken, berechnet die Flugbahn, indem sie alle Rechenschritte mit einem Bleistift auf der Wand notiert, und bestimmt somit die notwendige Anfangsgeschwindigkeit und den idealen Absprungwinkel, um in der Mitte des Schwimmbeckens zu landen. Rennt dann vor, um den notwendigen Impuls zu gewinnen, springt ab und landet im Schwimmbecken, knapp einige Zentimeter von der Schwimmbeckenkante entfernt.

Der Maschinenbauingenieur reißt ein Brett aus dem Fußboden, schätzt die Elastizität des Holzbretts, befestigt das Brett am Fenster und benützt die Daten der Physikerin um seine eigene Berechnungen zu machen - sind allerdings etwas länger als die der Physikerin und braucht dafür eine ganze Wand. Er steigt zuletzt auf das Brett, springt ab und landet im Schwimmbecken, knapp einige Zentimeter von der Schwimmbeckenkante entfernt.

Der Mathematiker verfügt nun über die Daten der Physikerin und des Maschinenbauingenieurs und durchführt seine eigene Berechnungen... notiert auf einer Wand,.... zwei Wände, ..... drei Wände ....., steigt dann auch auf das Brett, das am Fenster befestigt wurde, springt ab ................ aber wo ist er gelandet? Man kann ihn nicht sehen! ...... Was ist geschehen?

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Ein Vorzeichenfehler!


Gelesen im Blog von ZTFNews.org und hier frei übersetzt.

Gute Noten und Wasser

Wir nähern uns dem Schulkursende und viele von euch haben schon fast alle Klassenarbeiten hinter sich. 
Einige haben sogar sehr gute Noten geschafft - ich gratuliere euch dazu!

Andere werden diese Woche die letzte Mathe- und/oder Physik-Klausur schreiben - Kopf hoch! Ihr habt gelernt und geübt. 

Außerdem könnt ihr laut einer unlängst veröffentlichten Studie (von der jetzt sehr viel gesprochen wird) die Noten mit einem einfachen und gesunden Hilfsmittel bessern: Wasser. 

Bessere Noten ohne zusätzlich lernen!?

Ja, die Forscher um den Studienleiter Chris Pawson von der University of East London haben das Verhalten von 447 Studenten in unterschiedliche Prüfungen untersucht und dabei ihre Leistung in Abhängigkeit davon, ob diese etwas zu trinken mitbrachten oder nicht. Der Knaller der Ergebnisse dieser Studie ist eine bemerkenswerte Korrelation:

Wer Wasser zu den Prüfungen mitnimmt, schneidet in den Klausuren besser ab und dafür könnte es sogar schon ausreichen, einfach Wasser dabei zu haben, ohne etwas davon zu trinken.

Laut der Meinung des Studienleiters gibt es psychologische und physiologische Gründe dafür:

das Trinken von Wasser könnte einen positiven Effekt auf die Denkfähigkeit haben und selbst die bloße Anwesenheit der Wasserflasche könnte schon eine stressabbauende und beruhigende Wirkung haben.

Die Wissenschaftler registrierten allerdings nur die erreichten Noten und ob die Studenten Wasser bei der Prüfung hatten, aber nicht ob sie viel Wasser oder überhaupt etwas tranken.... 

Und ich nehme an, folgende Möglichkeit wurde auch nicht registriert!

Weitere Studien sind notwendig, um von einer eindeutigen Kausalität zu sprechen, wie auch der Studienleiter zugibt (mehr Informationen über die Studie bei den News der University of East London). 

Ihr könnt natürlich trotzdem zunächst diesen Hilfsmittel versuchen: allerdings besser ohne Spickzettel!

Spickzettel sind aufwändig und der Lehrer kann ihn leicht erwischen!

Anmerkung: Es ist nicht unbedingt eine schlechte Idee, sich eins zu machen, weil man durch das anfertigen eines Spickzettels gezwungen ist, das Thema sinnvoll zusammenzufassen und dabei das Wesentliche lernt. Deswegen braucht man ihn oft gar nicht mehr bei der Prüfung! 

Vor der Prüfung

KOPF HOCH, DU SCHAFFT ES!

Und hier einige Tipps für die letzten 24 Stunden vor der Prüfung, um ganz fit zu sein:

• Am letzten Tag vor der Prüfung ist es am sinnvollsten, nichts Neues zu lernen und das Gelernte ruhen und sacken lassen. Am besten entspannst Du dich am letzten Tag vor der Prüfung, indem Du dich z. B. mit einem beliebten Hobby beschäftigst und gehe nur, wenn Du noch etwas Wiederholung brauchst, das gelernte Stoff nochmal kurz durch. Bedenke, dass das neue Wissen Zeit braucht, um sich im Gedächtnis zu setzen und man kann im letzten Moment sehr schlecht neue Inhalte mit vorhandene Kenntnisse verknüpfen und sich deshalb auch die Prüfungsnervosität leicht steigern lässt.

• Schlafe genug (mindestens 7 Stunden) die Nacht vor der Prüfung.

• Stehe am Prüfungstag früh genug auf: das Gehirn braucht mindestens 2 Stunden um völlig wach und leistungsfähig zu sein. Ein morgenlicher Spaziergang oder ein bisschen Gymnastik können die Sauerstoffzufuhr im Gehirn anregen und ein gesundes Frühstück mit reichlich Kohlenhydraten und wenig Kaffee sollte dann auch die notwendige Energiezufuhr für die bevorstehende Denkarbeit decken.

• Wenn Du dann vor Prüfungsbeginn mit deine Mitschüler vor Ort bist, errege nicht unnötig dein Gemüt mit Fragen oder Spekulationen über mögliche Klausurthemen. Schotte dich ab und lass dich von keiner kollektiven Panik anstecken.

• Falls sich trotz aller Maßnahmen ein Panikgefühl anschleicht, hilft es sich auf einem regelmäßigen tiefen Atmen zu konzentrieren und an ein angenehmes Erlebnis oder ein schönes Vorhaben nach der Prüfung zu denken.  

Können und Glück um zu bestehen

Unvorhersehbare Umstände und Zufälle tauchen oft in jedem Leben auf. Aber mit minimale Stochastikkenntnisse kann man zum Glück Risiken und Chancen gut schätzen.
Aber können Wahrscheinlichkeitsrechnungen bzw. Schätzungen auch zweckdienliche Aussagen für die Vorbereitung auf einer Klausuren bieten?
Das können wir hier an Hand von zwei Beispielen untersuchen und dabei die eigenen Kenntnisse über elementare Wahrscheinlichkeitsrechnungen testen:

Beispiel 1:
Die drei besten Physik-Studenten des Jahrgangs stehen kurz vor ihrer Abschlussprüfung. Sie fühlen sich auf die Prüfung sehr gut vorbereitet und entscheiden am Abend vorher zu feiern und nicht mehr an die Prüfung zu denken.
Es kommt, wie es kommen muss und alle 3 verschlafen am nächsten Morgen und schaffen es nicht mehr rechtzeitig zur Prüfung. Sie treffen sich vor dem Universitätsgebäude und überlegen, wie sie nun aus dieser schwierigen Lage herauskommen könnten. Sie wissen, dass sie aufgrund ihrer hervorragenden Leistungen beim Professor hoch im Kurs stehen und wollen versuche, ihn mit einer guten Ausrede zu überzeugen, dass sie die Prüfung wiederholen dürfen.
Nach kurzem überlegen entscheiden sie sich für die klassische Ausrede, dass sie eine Reifepanne auf dem Weg zur Uni gehabt hätten, sodass sie zu spät gekommen sind. Das tragen sie dem Professor vor und er ist tatsächlich bereit den 3 Studenten eine zweite Chance zu geben, obwohl sie sofort nachschreiben müssten. Die 3 Studenten willigen ein und freuen sich sehr über die Güte des Professors.
Nach 15 Minuten wird jeder in ein Extraraum gesetzt und bekommt den Prüfungsbogen, der nur zwei Fragen beinhaltet. Eine erste Frage die 30 Punkte zählt und folgende Frage die 70 Punkte zählt:
An welchem Reifen hatten Sie heute morgen eine Panne?

Tja....dumm gelaufen (oder nicht?), denn um die Prüfung zu bestehen, muss man mindestens 50 Punkte erreichen!
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei den gleichen Reifen nennen?

* 1 / 64
* 1 / 16
* 1 / 4
* 1 / 3

(HIER klicken für Berechnungsdetails und Kommentare)

Beispiel 2:
Paul hat nicht genug Zeit, um sich für alle 6 Themen der Matheklausur gut vorzubereiten. Er überlegt jetzt, ob er doch nicht nur einfach 3 der sechs Themen durcharbeiten soll, da die Klausur ja auch nur aus eine Aufgabe zu je zwei von den 6 Mathethemen bestehen wird. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass in der Klausur mindestens eine Aufgabe zu den Themen, die Paul gelernt hat, gestellt wird und Paul somit die Möglichkeit hat die Klausur zu bestehen?

* 50%
* 25%
* 80%
* 75%

(HIER klicken für Berechnungsdetails und Kommentare)


Um elementare Kenntnisse über Wahrscheinlichkeitsrechnung und Stochastik zu erweitern bzw. erfrischen, könnte folgendes interessant bzw.  behilflich sein:

Buch: Wenn Gott würfelt oder Wie der Zufall unser Leben bestimmt von Leonard Mlodinow Ein unterhaltsames und lehrreiches Buch über die Welt der Wahrscheinlichkeit und häufige Irrtümer (Niveau: ab Oberstufe)
Kurs: Brinkmann's Einführung in die Stochastik (Niveau: Oberstufe)	Online Kurs anzeigen
Wahrscheinlichkeitsrechnung: Formelsammlung und Zusammenfassung der wichtigsten Definitionen mit Beispiele (Niveau: Oberstufe)	Ingo-Bartling-Seite anzeigen
Elementare Wahrscheinlichkeitstheorie zusammengefasst	dh-Lernmaterialien anzeigen
Präsenzkurs bzw. Nachhilfe bei CSI (Niveau ab 9. Klasse)	Kontakt

Griechische Buchstaben in der Mathematik und Physik

In der Mathematik und Physik werden oft griechische Buchstaben für die Bezeichnung von Parametern und Konstanten benützt.
Hier können Sie eine kleine Hilfe finden, die das Vertrautsein mit diesen Buchstaben erleichtert:

Griechische Buchstaben		Aussprache	Lautmalerei
Groß	Klein
Α	α	Alpha
Β	β	Beta
Γ	γ	Gamma
Δ	δ	Delta
Ε	ε	Epsilon
Η	η	Eta
Θ	ϑ	Theta
Κ	κ	Kappa
Λ	λ	Lambda
Μ	μ	Mü
Ν	ν	Nü
Π	π	Pi
Ρ	ρ	Rho
Σ	σ	Sigma
Τ	τ	Tau
Υ	υ	Ypsilon
Φ	φ	Phi
Χ	χ	Chi
Ψ	ψ	Psi
Ω	ω	Omega

Wie kann ich meine Mathe-Noten verbessern?

Versuche mal deine Hausaufgaben regelmäßig zu erledigen und am besten gleich an dem Tag, an dem man sie aufgibt, da dann die Zusammenhänge noch frisch in Erinnerung sind.

Gehe dabei in drei Schritten vor:

• Nimm dein Mathe-Heft/-Hefter und verbessere die letzte Hausaufgabe, wenn diese fehlerhaft war.
• Überprüfe deine letzte Mathenotizen: 
• Präge dir die neuen Begriffe gut ein und lerne die neue Merksätze auswendig.
• Vergleiche gegebenenfalls mit dem passenden Kapitel im Buch.
• Arbeite alle Beispielaufgaben gründlich durch. Wenn du etwas nicht verstanden hast, schreibe deine Fragen am Notizenrand und stelle sie bei der nächsten Matheaufgabenbesprechung.
• Erledige jetzt die neuen Hausaufgaben

........... und wenn du die Hausaufgabe nicht lösen kannst, dann:

• Rechne die Musteraufgaben der letzten Stunde noch einmal auf einem Blatt und lies gegebenenfalls das passende Kapitel im Buch
• Dann rechne so weit wie du kommst mit der neuen HA und wenn du sie nicht völlig lösen kannst, schreibe deine Frage in dein Heft, damit dir dein Lehrer in der nächsten Stunde helfen kann.

Mehrdeutigkeit bei der Abbildung dreidimensionaler Körper und Training des räumlichen Vorstellungsvermögen

Nicht jeder kann leicht die Lage eines Objektes im Raum auf ein Blatt Papier perspektivengetreu wiedergeben oder umgegekehrt anhand von maßstabs- und proportionsgetreuen zweidimensionalen Zeichnungen die Lage des Objekts im dreidimensionalen Raum erkennen.
Dafür braucht man künstlerische Fähigkeiten und eine gute räumliche Vorstellungskraft, die man auch mit etwas Übung steigern kann. Das Letztere werden wir heute hier ein bisschen versuchen unter Anwendung einiger Hilfsmittel der analytischen Geometrie (ein Koordinatensystem und Koordinaten zur eindeutigen Bezeichnung der Lage im Raum von Punkten).

Bei jeder zweidimensionalen Abbildung eines dreidimensionalen Körpers verliert man etwas Information, auch wenn die Zeichnung perfekt erstellt wurde. Dieser Informationsverlust kann Mehrdeutigkeiten bzw. optische Täuschungen verursachen. Die Abbildung eines durchsichtigen Würfels lässt zum Beispiel zwei Interpretationen zu:

Bei einer Sichtweise blicken wir von oben rechts (die grüne Würfelseite ist in diesen Fall die hintere Seite des Würfels) und bei der anderen von unten links auf den Würfel (die grüne Seite ist nun die vordere Seite des Würfels).
Es fällt einem nicht immer leicht, von einer Sichtweise in die andere umzuschalten.
Diese zwei Sichtweisen erkennt man vielleicht etwas besser, wenn der Würfel nur halbdurchsichtig ist:

Vorderseite: weiß - Hinterseite: grün                                   Vorderseite: grün - Hinterseite: weiß
Die punktierte Linien deuten verdeckte Kanten an.

und noch viel besser, wenn man den Würfel bzw. Einheitswürfel in ein rechtwinkliges Koordinatensystem plaziert und die Koordinaten einiger seiner Eckpunkte angibt:

Vorderseite: weiß - Hinterseite: grün                                         Vorderseite: grün - Hinterseite: weiß
Der Eckpunkt (000) liegt hinter der                                            Der rot eingetragene Diagonalvektor
halbdurchsichtigen weißen Vorderseite                               geht vom Urspung (000) zum Punkt (111)

Hier ein weiteres Beispiel, das sich auf dem selben Problem des Informationsverlustes basiert:

Man kann in diesem Fall ein oder zwei Würfel erkennen:

Koordinatenachsen, Koordinaten der Punkte und punktierte Hilfslinien erleichtern die Veranschaulichung eines dreidimensionalen Körpers in einer zweidimensionalen Zeichnung und entfernen Mehrdeutigkeiten. Sie ersparen aber einem nicht unbedingt das Weitertrainieren für ein besseres räumliches Vorstellungsvermögen. 

Weitere interaktive Trainingsübungen zum räumlichen Vorstellungsvermögen und zur Einführung in die analytische Geometrie kannst du auf der Blog-Seite Lin. Algebra Sek. II (Tabelle 2, Zeile 1) finden.

Zum Abschluss noch zwei lustige Bilder zu zweideutige Konstruktionen:

Durch die Perspektive getäuscht

Mathetraining mit Gleichungssysteme

Wie viele rote Karos erfüllen die Gleichung?	Anschauungsvermögen und Kreativität
Ermittle v in höchstens drei Rechenschritte	Einfallsreiche Kombinationsfähigkeit
Lineare Gleichungssysteme kann man systematisch mit dem gaußschen Eliminationsverfahren lösen	Abstraktion
Hier einige Lern- bzw. Übungsmaterialien zum gaußschen Eliminationsverfahren oder kurz Gauß-Verfahren:  Gauß-Verfahren illustriert an einem Beispiel (pdf-Dokument)  Übungsblatt mit Textaufgaben aus Alltagssituationen, Chemie, Analysis + Lösungsblatt Gauß-Rechner (von Arndt Brünner) zum Üben und Überprüfen der einzelnen Rechenschritte	Übung

Welche Unterrichtsnotizen sind die besten?

Bart Simpson hat gerade gemerkt, dass er seine Mathenotizen verloren hat. Er hat überall gesucht und findet sie nicht. Er ist jetzt ganz verzweifelt, weil er sich nicht für die Mathearbeit zu lineare Gleichungssysteme vorbereiten kann ....

Das ist der schlimmste Tag meines Lebens

Sein Vater Homer hat es erfahren und gibt nun Bart einen guten Ratschlag.....

Der schlimmste Tag deines Lebens bis jetzt!

Es gibt immer einen Ausweg und in diesem Fall kann Bart relativ leicht aus der verzweifelten Situation rauskommen: es fehlen noch drei Tage bis zur Mathearbeit und er kann noch morgen Klassenkameraden darum bitten, ihm seine Notizen über Gleichungssysteme kurz auszuleihen, um sie zu fotokopieren.

Bart hat am nächsten Tag die Notizen von zwei Schulfreunde fotokopieren können (zwei weil er nicht ganz sicher war, ob seine Freunde immer im Unterricht aufpassen und richtig mitschreiben, obwohl einer von ihnen sogar versucht seine Notizen im Cornell-Stil zu machen).

Im folgenden wird ein Auszug der Notizen (auf deutsch!) seiner Freunde (Mark und Klaus) aufgeführt.
Welche meinst du sind die besten für die Vorbereitung auf die Mathearbeit? Und warum?

Notizen von Mark:

Notizen von Klaus:

Klaus hat seine Notizen im annähernd Cornell-Stil gemacht. (Mehr über das Cornell-Notizsystem auf diese englischen Wikipedia-Seite)

Findest du dieses Notiz-System praktisch?

Ratschlag: Versuche die Gründe für deinen Notizvorzug in deine eigene Unterrichtsnotizen anzuwenden.

Mit den eigenen gut gemachten Notizen lernt man am bestem!

Wie kann ich meine Noten verbessern?

1. Schreibe eine Überschrift: Datum der Unterrichtsstunde und die Bezeichnung des Themas.
2. Notiere sauber die Hauptaussagen (Tafelaufzeichnungen, wichtige Erklärungen) und die Lösungsschritte der durchgeführten Übungen.
3. Erlaube genügend Raum um spätere Ergänzungen und gegebenenfalls Korrekturen vornehmen zu können. 
4. Lass einen Rand frei für spätere Anmerkungen oder Symbole zur Markierung von Besonderheiten (z.B. wichtig (!) oder verstehe nicht (?) oder Definition...), die dir das Nachlernen erleichtern werden und gegebenenfalls daran erinnern, den Lehrer am nächsten Tag über das was du nicht verstehst zu fragen.
5. Trage die erteilte Hausaufgaben ein.
6. Fertige deine Mitschrift vorzugsweise auf gelochten DIN-A4-Blättern an (für Mathe, Physik und Chemie am Besten kariertes Papier), die du dann gleich in der richtigen Reihenfolge in deine Mappe heften kannst. Dies hat den Vorteil gegenüber einem Heft für jedes Fach, dass du später noch ergänzende Informationsblätter geordnet hinzufügen kannst.
7. Sehr nützlich für die Erstellung von übersichtliche Notizen zum effizienten Lernen und zur Wiederholung des Lernstoffs ist das Cornell-Notiz-System, das im folgenden Bild veranschaulicht wird: