16.05.2013

Können und Glück um zu bestehen

Unvorhersehbare Umstände und Zufälle tauchen oft in jedem Leben auf. Aber mit minimale Stochastikkenntnisse kann man zum Glück Risiken und Chancen gut schätzen.
Aber können Wahrscheinlichkeitsrechnungen bzw. Schätzungen auch zweckdienliche Aussagen für die Vorbereitung auf einer Klausuren bieten?
Das können wir hier an Hand von zwei Beispielen untersuchen und dabei die eigenen Kenntnisse über elementare Wahrscheinlichkeitsrechnungen testen:


Beispiel 1:
Die drei besten Physik-Studenten des Jahrgangs stehen kurz vor ihrer Abschlussprüfung. Sie fühlen sich auf die Prüfung sehr gut vorbereitet und entscheiden am Abend vorher zu feiern und nicht mehr an die Prüfung zu denken.
Es kommt, wie es kommen muss und alle 3 verschlafen am nächsten Morgen und schaffen es nicht mehr rechtzeitig zur Prüfung. Sie treffen sich vor dem Universitätsgebäude und überlegen, wie sie nun aus dieser schwierigen Lage herauskommen könnten. Sie wissen, dass sie aufgrund ihrer hervorragenden Leistungen beim Professor hoch im Kurs stehen und wollen versuche, ihn mit einer guten Ausrede zu überzeugen, dass sie die Prüfung wiederholen dürfen.
Nach kurzem überlegen entscheiden sie sich für die klassische Ausrede, dass sie eine Reifepanne auf dem Weg zur Uni gehabt hätten, sodass sie zu spät gekommen sind. Das tragen sie dem Professor vor und er ist tatsächlich bereit den 3 Studenten eine zweite Chance zu geben, obwohl sie sofort nachschreiben müssten. Die 3 Studenten willigen ein und freuen sich sehr über die Güte des Professors.
Nach 15 Minuten wird jeder in ein Extraraum gesetzt und bekommt den Prüfungsbogen, der nur zwei Fragen beinhaltet. Eine erste Frage die 30 Punkte zählt und folgende Frage die 70 Punkte zählt:
An welchem Reifen hatten Sie heute morgen eine Panne?

Tja....dumm gelaufen (oder nicht?), denn um die Prüfung zu bestehen, muss man mindestens 50 Punkte erreichen!
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei den gleichen Reifen nennen?

* 1 / 64
* 1 / 16
* 1 / 4
* 1 / 3

(HIER klicken für Berechnungsdetails und Kommentare)

Beispiel 2:
Paul hat nicht genug Zeit, um sich für alle 6 Themen der Matheklausur gut vorzubereiten. Er überlegt jetzt, ob er doch nicht nur einfach 3 der sechs Themen durcharbeiten soll, da die Klausur ja auch nur aus eine Aufgabe zu je zwei von den 6 Mathethemen bestehen wird. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass in der Klausur mindestens eine Aufgabe zu den Themen, die Paul gelernt hat, gestellt wird und Paul somit die Möglichkeit hat die Klausur zu bestehen?

* 50%
* 25%
* 80%
* 75%

(HIER klicken für Berechnungsdetails und Kommentare)


Um elementare Kenntnisse über Wahrscheinlichkeitsrechnung und Stochastik zu erweitern bzw. erfrischen, könnte folgendes interessant bzw.  behilflich sein:

Buch: Wenn Gott würfelt oder Wie der Zufall unser Leben bestimmt
von Leonard Mlodinow
Ein unterhaltsames und lehrreiches Buch über die Welt der Wahrscheinlichkeit und häufige Irrtümer
(Niveau: ab Oberstufe)
Kurs: Brinkmann's Einführung in die Stochastik
(Niveau: Oberstufe)
Wahrscheinlichkeitsrechnung: Formelsammlung und Zusammenfassung der wichtigsten Definitionen mit Beispiele
(Niveau: Oberstufe)

Elementare Wahrscheinlichkeitstheorie zusammengefasst
Präsenzkurs bzw. Nachhilfe bei CSI
(Niveau ab 9. Klasse)

08.05.2013

Griechische Buchstaben in der Mathematik und Physik

In der Mathematik und Physik werden oft griechische Buchstaben für die Bezeichnung von Parametern und Konstanten benützt.
Hier können Sie eine kleine Hilfe finden, die das Vertrautsein mit diesen Buchstaben erleichtert:

Griechische Buchstaben
Aussprache

Lautmalerei
Groß Klein

Α

α

Alpha


Β

β

Beta

Γ

γ

Gamma


Δ

δ

Delta


Ε

ε

Epsilon


Η

η

Eta


Θ

ϑ

Theta


Κ

κ

Kappa

Λ

λ

Lambda


Μ

μ


Mü

Ν

ν

Nü


Π

π

Pi

Ρ

ρ



Rho

Σ

σ

Sigma

Τ

τ

Tau

Υ υ

Ypsilon

Φ
φ
Phi


Χ

χ

Chi


Ψ

ψ


Psi


Ω

ω

Omega



06.05.2013

Wie kann ich meine Mathe-Noten verbessern?


Versuche mal deine Hausaufgaben regelmäßig zu erledigen und am besten gleich an dem Tag, an dem man sie aufgibt, da dann die Zusammenhänge noch frisch in Erinnerung sind.

Gehe dabei in drei Schritten vor:
  • Nimm dein Mathe-Heft/-Hefter und verbessere die letzte Hausaufgabe, wenn diese fehlerhaft war.
  • Überprüfe deine letzte Mathenotizen: 
    • Präge dir die neuen Begriffe gut ein und lerne die neue Merksätze auswendig.
    • Vergleiche gegebenenfalls mit dem passenden Kapitel im Buch.
    • Arbeite alle Beispielaufgaben gründlich durch. Wenn du etwas nicht verstanden hast, schreibe deine Fragen am Notizenrand und stelle sie bei der nächsten Matheaufgabenbesprechung.
  • Erledige jetzt die neuen Hausaufgaben
........... und wenn du die Hausaufgabe nicht lösen kannst, dann:
    • Rechne die Musteraufgaben der letzten Stunde noch einmal auf einem Blatt und lies gegebenenfalls das passende Kapitel im Buch
    • Dann rechne so weit wie du kommst mit der neuen HA und wenn du sie nicht völlig lösen kannst, schreibe deine Frage in dein Heft, damit dir dein Lehrer in der nächsten Stunde helfen kann.

20.04.2013

Mehrdeutigkeit bei der Abbildung dreidimensionaler Körper und Training des räumlichen Vorstellungsvermögen

Nicht jeder kann leicht die Lage eines Objektes im Raum auf ein Blatt Papier perspektivengetreu wiedergeben oder umgegekehrt anhand von maßstabs- und proportionsgetreuen zweidimensionalen Zeichnungen die Lage des Objekts im dreidimensionalen Raum erkennen.
Dafür braucht man künstlerische Fähigkeiten und eine gute räumliche Vorstellungskraft, die man auch mit etwas Übung steigern kann. Das Letztere werden wir heute hier ein bisschen versuchen unter Anwendung einiger Hilfsmittel der analytischen Geometrie (ein Koordinatensystem und Koordinaten zur eindeutigen Bezeichnung der Lage im Raum von Punkten).

Bei jeder zweidimensionalen Abbildung eines dreidimensionalen Körpers verliert man etwas Information, auch wenn die Zeichnung perfekt erstellt wurde. Dieser Informationsverlust kann Mehrdeutigkeiten bzw. optische Täuschungen verursachen. Die Abbildung eines durchsichtigen Würfels lässt zum Beispiel zwei Interpretationen zu:
Bei einer Sichtweise blicken wir von oben rechts (die grüne Würfelseite ist in diesen Fall die hintere Seite des Würfels) und bei der anderen von unten links auf den Würfel (die grüne Seite ist nun die vordere Seite des Würfels).
Es fällt einem nicht immer leicht, von einer Sichtweise in die andere umzuschalten.
Diese zwei Sichtweisen erkennt man vielleicht etwas besser, wenn der Würfel nur halbdurchsichtig ist:

Vorderseite: weiß - Hinterseite: grün                                   Vorderseite: grün - Hinterseite: weiß
Die punktierte Linien deuten verdeckte Kanten an.

und noch viel besser, wenn man den Würfel bzw. Einheitswürfel in ein rechtwinkliges Koordinatensystem plaziert und die Koordinaten einiger seiner Eckpunkte angibt:

Vorderseite: weiß - Hinterseite: grün                                         Vorderseite: grün - Hinterseite: weiß
Der Eckpunkt (000) liegt hinter der                                            Der rot eingetragene Diagonalvektor
halbdurchsichtigen weißen Vorderseite                               geht vom Urspung (000) zum Punkt (111)

Hier ein weiteres Beispiel, das sich auf dem selben Problem des Informationsverlustes basiert:



Man kann in diesem Fall ein oder zwei Würfel erkennen:



Koordinatenachsen, Koordinaten der Punkte und punktierte Hilfslinien erleichtern die Veranschaulichung eines dreidimensionalen Körpers in einer zweidimensionalen Zeichnung und entfernen Mehrdeutigkeiten. Sie ersparen aber einem nicht unbedingt das Weitertrainieren für ein besseres räumliches Vorstellungsvermögen. 

Weitere interaktive Trainingsübungen zum räumlichen Vorstellungsvermögen und zur Einführung in die analytische Geometrie kannst du auf der Blog-Seite Lin. Algebra Sek. II (Tabelle 2, Zeile 1) finden.

Zum Abschluss noch zwei lustige Bilder zu zweideutige Konstruktionen:


Durch die Perspektive getäuscht




14.04.2013

Mathetraining mit Gleichungssysteme


Wie viele rote Karos erfüllen die Gleichung?




Anschauungsvermögen
und
Kreativität
Ermittle v in höchstens drei Rechenschritte



Einfallsreiche
Kombinationsfähigkeit
Lineare Gleichungssysteme kann man systematisch mit dem gaußschen Eliminationsverfahren lösen


Abstraktion
Hier einige Lern- bzw. Übungsmaterialien zum gaußschen Eliminationsverfahren oder kurz Gauß-Verfahren:

Übung


09.04.2013

Welche Unterrichtsnotizen sind die besten?

Bart Simpson hat gerade gemerkt, dass er seine Mathenotizen verloren hat. Er hat überall gesucht und findet sie nicht. Er ist jetzt ganz verzweifelt, weil er sich nicht für die Mathearbeit zu lineare Gleichungssysteme vorbereiten kann ....

Das ist der schlimmste Tag meines Lebens

Sein Vater Homer hat es erfahren und gibt nun Bart einen guten Ratschlag.....

Der schlimmste Tag deines Lebens bis jetzt!

Es gibt immer einen Ausweg und in diesem Fall kann Bart relativ leicht aus der verzweifelten Situation rauskommen: es fehlen noch drei Tage bis zur Mathearbeit und er kann noch morgen Klassenkameraden darum bitten, ihm seine Notizen über Gleichungssysteme kurz auszuleihen, um sie zu fotokopieren.

Bart hat am nächsten Tag die Notizen von zwei Schulfreunde fotokopieren können (zwei weil er nicht ganz sicher war, ob seine Freunde immer im Unterricht aufpassen und richtig mitschreiben, obwohl einer von ihnen sogar versucht seine Notizen im Cornell-Stil zu machen).

Im folgenden wird ein Auszug der Notizen (auf deutsch!) seiner Freunde (Mark und Klaus) aufgeführt.
Welche meinst du sind die besten für die Vorbereitung auf die Mathearbeit? Und warum?

Notizen von Mark:


Notizen von Klaus:




Klaus hat seine Notizen im annähernd Cornell-Stil gemacht. (Mehr über das Cornell-Notizsystem auf diese englischen Wikipedia-Seite)
Findest du dieses Notiz-System praktisch?

Ratschlag: Versuche die Gründe für deinen Notizvorzug in deine eigene Unterrichtsnotizen anzuwenden.

Mit den eigenen gut gemachten Notizen lernt man am bestem!

08.04.2013

Wie kann ich meine Noten verbessern?










  1. Schreibe eine Überschrift: Datum der Unterrichtsstunde und die Bezeichnung des Themas.
  2. Notiere sauber die Hauptaussagen (Tafelaufzeichnungen, wichtige Erklärungen) und die Lösungsschritte der durchgeführten Übungen.
  3. Erlaube genügend Raum um spätere Ergänzungen und gegebenenfalls Korrekturen vornehmen zu können. 
  4. Lass einen Rand frei für spätere Anmerkungen oder Symbole zur Markierung von Besonderheiten (z.B. wichtig (!) oder verstehe nicht (?) oder Definition...), die dir das Nachlernen erleichtern werden und gegebenenfalls daran erinnern, den Lehrer am nächsten Tag über das was du nicht verstehst zu fragen.
  5. Trage die erteilte Hausaufgaben ein.
  6. Fertige deine Mitschrift vorzugsweise auf gelochten DIN-A4-Blättern an (für Mathe, Physik und Chemie am Besten kariertes Papier), die du dann gleich in der richtigen Reihenfolge in deine Mappe heften kannst. Dies hat den Vorteil gegenüber einem Heft für jedes Fach, dass du später noch ergänzende Informationsblätter geordnet hinzufügen kannst.
  7. Sehr nützlich für die Erstellung von übersichtliche Notizen zum effizienten Lernen und zur Wiederholung des Lernstoffs ist das Cornell-Notiz-System, das im folgenden Bild veranschaulicht wird: