Training für ein besseres räumliches Vorstellungsvermögen beim Billardspielen - Kannst Du diese Billardfragen lösen?

Jan und Krista waren gestern im katalanischen Wanderclub und hatten dort die Gelegenheit, einiges über Billardspiele zu lernen:

• Es gibt viele Billardspielarten
• Billardspielen verlangt Geschicklichkeit, Konzentration, ein gut entwickeltes räumliches Vorstellungsvermögen und Übung
• Mathematische und physikalische Regeln bringen die Kugeln zu einem wunderschönen Tanz

Hauptsächlich gelten folgende mathematisch-physikalische Gesetzmäßigkeiten:

• Wenn man eine Kugel mittig anstößt, dann bewegt sie sich geradlinig und verhält sich beim Abprallen von einer Bande wie ein Lichtstrahl im Spiegel, das heißt, der Abprallwinkel ist gleich dem Einfallswinkel der Kugel.

Abb. 2 - Reflexionsgesetz (*)

• Wenn man dagegen die Kugel nicht mittig anstößt, dann entstehen Drehungen um Hoch und Querachse und die Kugel kann dann im Bogen rollen und das Reflexionsgesetz nicht befolgen. Man sagt dann die Kugel bewegt sich mit Effet (oder Drall).

* Anmerkung: In der Physik werden üblicherweise Einfalls- und Reflexionswinkel zum Lot hin gemessen, um so auch die Reflexion an einer krummen Fläche gut beschreiben zu können. Bei einer ebenen Reflexionsfläche, wie die Innenbanden unseres Billardtisches,  ist die Winkelmessung zwischen Bande und Laufweg äquivalent und erspart das Einzeichnen des Lotes bei einem graphischen Lösungsweg. 

Jan und Krista möchten sich für das nächste Mal etwas vorbereiten und einige einfache Kugelbewegungen ohne Effet explorativ auf einem Blatt Papier untersuchen, um so ihr räumliches Vorstellungsvermögen zu trainieren und ein besseres Auge für die richtige Stoßrichtung zu haben.

"Ein Billardspieler denkt sich die Zielkugel an der Bande gespiegelt und zielt dann präzise auf das gedachte Kugelbild", sagte ein Mitglied des katalanischen Wanderclubs.

Das möchten Jan und Krista besser verstehen. Sie arbeiten jetzt daran und möchten die Kugelbewegung in drei verschiedene Fälle untersuche, wissen aber noch nicht, wie man leicht - ohne rumprobieren - die richtige Stoßrichtung und den angebrachten Anschlagpunkt an der Bande einschätzen kann.

A) Kannst Du auf einem Blatt Papier veranschaulichen, wie ein erfahrener Billardspieler die richtige Stoßrichtung in folgende drei Fällen (siehe Abb. 3 bis 5) leicht herausfinden kann?

Fall 1:

Abb. 3 - Billardstoß ohne Effet über eine Bande

Die weiße Kugel soll die rote Kugel über die rechte Bande erreichen. Doch welche ist hier die richtige Stoßrichtung und wie findet ein Billardspieler an welcher Stelle die Bande angespielt werden muss?










Fall 2:

Abb. 4 - Billardstoß ohne Effet über 2 Banden

Die weiße Kugel soll nun die rote Kugel über zwei Banden treffen. Welche ist nun die richtige Stoßrichtung?














Fall 3:

Abb. 5 - Billardstoß ohne Effet über 3 Banden

Und wenn der Stoß über drei Banden erfolgen soll?
Hängt der Schwierigkeitsgrad der Realisierung von der Auswahl der Banden? Könnte man diesen Stoß nicht einfacher über die linke und dann untere und rechte Banden realisieren? Warum?












B) Die Lage der Kugeln in Abb. 3 scheint symmetrisch zu sein. Jan und Krista vermuten daher, dass der ideale Stoßpunkt sich in der Mitte der rechten Innenbande befindet.

Könntest Du das überprüfen und die exakte Lage des Stoßpunktes mathematisch herleiten, damit die weiße Kugel die rote nach dem Abprallen von der rechten Innenbande trifft?

Dafür kann man die Spielfläche samt Kugeln in ein Koordinatensystem übertragen und z. B. folgende Koordinatenpunktwerte für die Tischecken berücksichtigen (s. Abb. 6), da normaler Weise ein Billardtisch doppelt so lang wie breit ist.

Abb. 6 - Billardtisch mit
Koordinatensystem

Im mathematischen Modell sollen weiterhin folgende Bedingungen gelten:

• Die Spielfläche ist exakt eben und die Kugel wird zentral angespielt. Die Kugel bewegt sich folglich geradlinig und ändert ihre Bewegungsrichtung entsprechend dem Reflexionsgesetz, nachdem sie elastisch gegen eine Bande stößt.
• Die Reibung zwischen Kugel und Tisch wird zur Vereinfachung vernachlässigt. Wir müssen uns folglich nicht darum kümmern, ob sie vorzeitig zum Stehen kommt.
• Die Kugeln werden zu Punkte reduziert, da auch kein Effet zu berücksichtigen ist.
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Die Vorgehensweise zur Berechnung des Stoßpunktes an der x=1 Bande (linke Innenbande) ist frei auswählbar (je nach Lernstand):

• Ab der 9. Klasse: Mit Hilfe der linearen Funktionsgleichungen zweier Geraden
• Ab der 11. Klasse: Optional mit Hilfe von Vektorgleichungen

Viel Spaß am Training!

Die Lösung zur Fragengruppe A kannst Du HIER finden.
Die Lösung zur Fragengruppe B kannst Du im darauffolgenden Blogbeitrag finden.