Hier kannst Du die Lösung und einen Lösungsweg zur mathematischen Billardfrage B lesen, die in meinen vorigen Blogeintrag gestellt wurde.
So lautete die Frage B:
Die Lage der Kugeln in Abb. 2 scheint symmetrisch zu sein. Jan und Krista vermuten daher, dass der ideale Stoßpunkt sich in der Mitte der rechten Innenbande befindet. Könntest Du das überprüfen und die exakte Lage des Stoßpunktes mathematisch herleiten, damit die weiße Kugel die rote nach dem Abprallen von der rechten Innenbande trifft?
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| Abb. 2 - Billardstoß ohne Effet über eine Bande |
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| Abb.3 - Abb. 6 - Billardtisch mit
Koordinatensystem und relevante Punkte
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Dafür kann man die Spielfläche samt Kugeln in ein Koordinatensystem übertragen und z. B. folgende Koordinatenpunktwerte für die Tischecken berücksichtigen (s. Abb. 3), da normaler Weise ein Billardtisch doppelt so lang wie breit ist.
Im mathematischen Modell sollen auch folgende Bedingungen gelten:
- Die Spielfläche ist exakt eben und die Kugel wird zentral angespielt. Die Kugel bewegt sich folglich geradlinig und ändert ihre Bewegungsrichtung entsprechend dem Reflexionsgesetz (Abb. 4), nachdem sie elastisch gegen eine Bande stößt.
- Die Reibung zwischen Kugel und Tisch wird zur Vereinfachung vernachlässigt. Wir müssen uns folglich nicht darum kümmern, ob sie vorzeitig zum Stehen kommt.
- Die Kugeln werden zu Punkte reduziert, da auch kein Effet zu berücksichtigen ist.
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| Abb. 4 - Reflexionsgesetz |
- Ab der 9. Klasse: Mit Hilfe der linearen Funktionsgleichungen zweier Geraden
- Ab der 11. Klasse: Optional mit Hilfe von Vektorgleichungen
LÖSUNGSWEG mittels linearer Funktionsgleichungen
Aus der Abbildung 3 lässt sich einerseits ablesen, dass die Koordinaten für die weiße Kugel
$$P_w=\left(\frac{2}{3};\frac{2}{3}\right)$$
und für die rote Kugel
$$P_r=\left(\frac{1}{3};\frac{4}{3}\right)$$
lauten.
Eine der Bedingungen legt anderseits fest, dass die Kugel geradlinig verläuft. Wir können also ihren Laufweg vor und nach dem Abprallen an der rechten Innenbande jeweils durch lineare Funktionen mit folgender allgemeinen Form beschreiben:
$$P_w=\left(\frac{2}{3};\frac{2}{3}\right)$$
und für die rote Kugel
$$P_r=\left(\frac{1}{3};\frac{4}{3}\right)$$
lauten.
Eine der Bedingungen legt anderseits fest, dass die Kugel geradlinig verläuft. Wir können also ihren Laufweg vor und nach dem Abprallen an der rechten Innenbande jeweils durch lineare Funktionen mit folgender allgemeinen Form beschreiben:
$$f_1(x) = y = m_1x +b_1$$ und
$$f_2(x) = y = m_2x +b_2$$
$$f_2(x) = y = m_2x +b_2$$
wo m1, m2, b1 und b2 durch die zu erfüllende Bedingungen des gewünschten Laufwegs bestimmt werden:
A) die erste lineare Funktion f1 beschreibt den Weg vom Ausgangspunkt (2/3; 2/3) der weißen Kugel bis zum Punkt (1; B) der Bande, dessen y-Koordinate noch nicht bekannt ist.
B) Die zweite lineare Funktion f2 beschreibt den Laufweg der Kugel von der Bande bis zur roten Kugel und der Graph von f2 verläuft folglich durch die Punkte (1; B) und (1/3; 4/3), wenn der Billardstoß über eine Bande erfolgreich ausgeführt wird.
C) Da zentral angespielt wird und das Reflexionsgesetz gelten soll, sind Einfallswinkel und Reflexionswinkel gleich groß und folglich ist auch m2 = - m1 . Wir können also auch unsere Bezeichnung vereinfachen und schreiben im folgenden m statt m1.
Für den ersten Teil des Laufwegs ergibt sich somit folgende zwei Gleichungen:
$$\begin{eqnarray}
\frac{2}{3}& = &\frac{2}{3}m+b_1 && \mbox{(Gl. 1)} \\
B &=& m+b_1 && \mbox{(Gl. 2)}
\end{eqnarray}$$
und für die zweite Teilstrecke:
$$\begin{eqnarray}
B &=& -m+b_2 && \mbox{(Gl. 3)} \\
\frac{4}{3}& = & -\frac{1}{3}m+b_2 && \mbox{(Gl. 4)}
\end{eqnarray}$$
Wir haben also einen Gleichungssystem mit 4 lineare Gleichungen und 4 Unbekannte b1, b2, m, B, das wir für eine bessere Übersicht folgendermaßen umformen und anschließend mit Hilfe der Eliminationsmethode lösen können:
$$\begin{eqnarray}
b_1 &+& 0 b_2 &+& \frac{2}{3}m &+& 0 B &=& \frac{2}{3} && \mbox{(Gl. 1')} \\
b_1 &+& 0 b_2 &+& m &-& B &=& 0 && \mbox{(Gl. 2')} \\
0 b_1 &+& b_2 &-& m &-& B &=& 0 && \mbox{(Gl. 3')} \\
0 b_1 &+& b_2 &-& \frac{1}{3}m &+& 0B &= & \frac{4}{3} && \mbox{(Gl. 4')}
\end{eqnarray}$$
Von der Gleichung (2') subtrahieren wir Gleichung (1'), um die Unbekannte b1 zu eliminieren und dann von der Gleichung (3') subtrahieren wir die Gleichung (4'), um die Unbekannte b2 zu eliminieren. Daraus folgt:
$$\begin{eqnarray}
\frac{1}{3}m - B & = & -\frac{2}{3} && \mbox{(Gl. 5)} \\
-\frac{2}{3}m - B & = & -\frac{4}{3} && \mbox{(Gl. 6)}
\end{eqnarray}$$
Jetzt subtrahieren wir Gleichung (6) von Gleichung (5) und erhalten:
$$ m = \frac{2}{3}$$
Durch Einsetzen von m in eine der Gleichungen, z. B. in Gleichung (6), wird die gesuchte Unbekannte B berechnet:
$$B = -\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}+\frac{4}{3} = \frac{8}{9}$$
Nun können wir mit mathematischer Sicherheit behaupten, dass der anzuspielende Punkt an der Bande (1; 8/9) und nicht (1; 1) sein muss, damit die weiße Kugel nach dem Abprallen die rote Kugel mittig trifft.
Wir haben außerdem die Steigung m der Laufwegstrecke berechnet. Demnach können wir auch die richtige Stoßrichtung bzw. den richtigen Einfallswinkel exakt festlegen:
$$\alpha = 90º - \arctan{\frac{2}{3}},$$
der wie in Abb. 4 zwischen dem einfallenden Laufweg der Kugel und der Bande gemessen wird.
A) die erste lineare Funktion f1 beschreibt den Weg vom Ausgangspunkt (2/3; 2/3) der weißen Kugel bis zum Punkt (1; B) der Bande, dessen y-Koordinate noch nicht bekannt ist.
B) Die zweite lineare Funktion f2 beschreibt den Laufweg der Kugel von der Bande bis zur roten Kugel und der Graph von f2 verläuft folglich durch die Punkte (1; B) und (1/3; 4/3), wenn der Billardstoß über eine Bande erfolgreich ausgeführt wird.
C) Da zentral angespielt wird und das Reflexionsgesetz gelten soll, sind Einfallswinkel und Reflexionswinkel gleich groß und folglich ist auch m2 = - m1 . Wir können also auch unsere Bezeichnung vereinfachen und schreiben im folgenden m statt m1.
Für den ersten Teil des Laufwegs ergibt sich somit folgende zwei Gleichungen:
$$\begin{eqnarray}
\frac{2}{3}& = &\frac{2}{3}m+b_1 && \mbox{(Gl. 1)} \\
B &=& m+b_1 && \mbox{(Gl. 2)}
\end{eqnarray}$$
und für die zweite Teilstrecke:
$$\begin{eqnarray}
B &=& -m+b_2 && \mbox{(Gl. 3)} \\
\frac{4}{3}& = & -\frac{1}{3}m+b_2 && \mbox{(Gl. 4)}
\end{eqnarray}$$
Wir haben also einen Gleichungssystem mit 4 lineare Gleichungen und 4 Unbekannte b1, b2, m, B, das wir für eine bessere Übersicht folgendermaßen umformen und anschließend mit Hilfe der Eliminationsmethode lösen können:
$$\begin{eqnarray}
b_1 &+& 0 b_2 &+& \frac{2}{3}m &+& 0 B &=& \frac{2}{3} && \mbox{(Gl. 1')} \\
b_1 &+& 0 b_2 &+& m &-& B &=& 0 && \mbox{(Gl. 2')} \\
0 b_1 &+& b_2 &-& m &-& B &=& 0 && \mbox{(Gl. 3')} \\
0 b_1 &+& b_2 &-& \frac{1}{3}m &+& 0B &= & \frac{4}{3} && \mbox{(Gl. 4')}
\end{eqnarray}$$
$$\begin{eqnarray}
\frac{1}{3}m - B & = & -\frac{2}{3} && \mbox{(Gl. 5)} \\
-\frac{2}{3}m - B & = & -\frac{4}{3} && \mbox{(Gl. 6)}
\end{eqnarray}$$
Jetzt subtrahieren wir Gleichung (6) von Gleichung (5) und erhalten:
$$ m = \frac{2}{3}$$
Durch Einsetzen von m in eine der Gleichungen, z. B. in Gleichung (6), wird die gesuchte Unbekannte B berechnet:
$$B = -\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}+\frac{4}{3} = \frac{8}{9}$$
Nun können wir mit mathematischer Sicherheit behaupten, dass der anzuspielende Punkt an der Bande (1; 8/9) und nicht (1; 1) sein muss, damit die weiße Kugel nach dem Abprallen die rote Kugel mittig trifft.
Wir haben außerdem die Steigung m der Laufwegstrecke berechnet. Demnach können wir auch die richtige Stoßrichtung bzw. den richtigen Einfallswinkel exakt festlegen:
$$\alpha = 90º - \arctan{\frac{2}{3}},$$
der wie in Abb. 4 zwischen dem einfallenden Laufweg der Kugel und der Bande gemessen wird.
