1)
Wir haben hier ein Gleichungssystem mit 4 festliche Ikone (4 Unbekannte) und gesucht ist nicht der Wert der einzelnen Ikone, sondern nur deren Summenwert.
Lass uns also erstmal die Gleichungen analysieren, um zu sehen, ob wir durch eine einfache Äquivalenzumformung bereits die gesuchte Summengleichung erhalten.
Ja, das ist möglich! Wir brauchen nur die erste Zeile mit der dritten zu addieren:
Die Lösung ist folglich 18, was man fast schon bei dem bevorstehenden neuen Jahr 2018 erahnen konnte.
Falls man für ein intensiveres Training auch die Lösungswerte aller Ikone bestimmt hat, ist hier unten zur Überprüfung die Lösungsmenge des Gleichungssystems angegeben:
Stern = 6
Glas = 4
Smiley = 3
Herz = 5
2)
Als Hilfsmittel zur Flächenbestimmung können wir zum Beispiel erstmal das gleichseitige Sangaku-Dreieck in 4 kleinere gleichseitige Dreiecke unterteilen
und prüfen wie sich somit die rote fläche des Sangaku-Dreiecks unterteilt:
Wir können nun feststellen, dass die Grenzlinie zwischen A und B eine Seitenhalbierende (eine Gerade die senkrecht auf die eine Dreiecksseite steht und diese halbiert) ist und zugleich auch eine Schwerelinie (verbindet den Halbierungspunkt der Seite mit dem gegenüberliegendem Echpunkt; auch Median genannt) und eine Höhelinie (Lot von einem Eckpunkt auf die gegenüberliegende Seite und folglich die kürzeste Strecke vom Eckpunkt zur gegenüberliegenden Seite) ist. Dreiecke A und B haben folglich die selbe Höhe und Basisseitenlänge und deshalb auch den selben Flächeninhalt: A=B.
Außerdem können wir im Bild sehen, dass C und D auch den selben Flächeninhalt wie A haben.
Da A halb so groß wie einer der 4 kleinere gleichseitige Dreiecke ist, beträgt sein Flächeninhalt ein Achtel der Gesamtfläche G des Sangaku-Dreiecks.
Der Flächeninhalt des rotgefäbten Sangaku-Dreieckteils ist folglich
Frot = B + C + D + e = 3G/8 + e
Den Flächeninhalt e können wir bestimmen, indem wir uns das mittlere gleichseitige Dreieck näher anschauen:
Wir können hier feststellen, dass e+S ein symmetrisches Dreieck zu C bilden und folglich zusammen den selben Flächeninhalt wie C oder A haben.
Außerdem ist der innere Eckpunkt von S auch der Schnittpunkt der drei Seitenhalbierende, dessen Abstand von einer Seite immer gleich ein Drittel der Seitenhalbierende ist. Der Flächeninhalt S ist dementsprechend auch gleich ein Drittel der Gesamtfläche des mittleren gleichseitigen Dreiecks.
S = 1/3 * G/4 = G/12
wobei G den Gesamtflächeninhalt des Sangaku-Dreiecks angibt
Demnach ist
e = C - S = T/8 - T/12
und der Flächeninhalt des roten Sangaku-Dreieckteils beträgt:
Frot = 3T/8 + e = 3T/8 + T/8 - T/12 = 6T/12 - T/12 = 5T/12
Der gesuchte Bruchteil im Neujahr-Sangaku ist also: 5/12.
Ich hoffe ihr hattet viel Spaß beim rätseln!
