Physikalische Gedankensplitter beim Zuschauen der Schwimm-WM 2013 in Barcelona

Die 15. Schwimmweltmeisterschaften finden jetzt in Barcelona statt: ein gute Gelegenheit um einige einfache und kurze Überlegungen über die Physik beim Schwimmen anzustellen.

Schwimmen ist eine wunderschöne sportliche Aktivität, in der die Wechselwirkung des Sportlers mit dem Medium (Wasser) eine große Rolle spielt. Die physikalische Charakterisierung dieser Wechselwirkung lässt sich auf die Untersuchung folgender Aspekte reduzieren:
- der Auftrieb, der das Schwimmen ermöglicht und senkrecht zur Schwimmrichtung wirkt
- der Antrieb, der die Fortbewegung im Wasser bewirkt und den man durch geeignete Arm- und Beinbewegungen erreicht
- der Widerstand, der gegen die Schwimmrichtung des Körpers wirkt und folglich abbremst

DER AUFTRIEB

Jeder Mensch schafft es, dank dem statischen Auftrieb, an der Wasseroberfläche zu treiben. Sein Körper schwimmt, wenn die Gewichtskraft FG auf dem Körper genauso groß ist wie die Auftriebskraft FA, wobei sich ein Teil seines Körpers außerhalb des Wassers befindet. (Ein Körper schwebt, wenn FG=FA und der ganze Körper unter der Wasseroberfläche bleibt, und würde sinken, wenn FG>FA) Nach dem Archimedes Gesetz ist die Auftriebskraft FA gleich der Gewichtskraft der vom Körper verdrängten Wassermenge:

FA = DW · VE · g

[Dichte des Wassers mal Volumen der verdrängten Wassermenge (= Volumen des eingetauchten Körperteils) mal Erdanziehungskonstante]

Die Gewichtskraft, die nach unten wirkt, ist nach dem Kraftgesetz von Newton:

FG = m·g = DK · VK · g

[Dichte des Körpers mal Volumen des ganzen Körpers mal Erdanziehungskonstante]

Mathematische Denkfrage bei 100% Frischluft

Es wird Nacht und drei junge Reisende entschließen im ersten Motel, der noch frei Zimmer hat, zu übernachten. Sie haben Glück: alle freie Zimmer sind mit Klimaanlage ausgestattet! 

Der Preis für ein Dreibettzimmer pro Nacht beträgt 90 €. Jeder bezahlt 30 € im voraus, weil sie am nächsten Tag ganz früh am Morgen losziehen wollen.
Nach einer Weile bemerkt der Motelbesitzer, dass der Preis an diesem Wochentag nur 85 € beträgt. Er schickt daher seinen Gehilfen mit den überschüssigen 5 € zurück zu den drei Reisenden. Dem Gehilfen fällt auf, dass sich 5 Euro schlecht auf drei Personen aufteilen lassen. Er beschließt folglich den jungen Reisenden nur 3 Euro zurückzugeben und die zwei übrigen Euro zu behalten. Nun haben die drei Reisenden jeweils 30 - 1= 29 € bezahlt, was insgesamt 87 Euro ergibt. Der Gehilfe hat 2 Euro behalten, das macht 89 Euro.
Aber ursprünglich lagen 90 Euro auf der Theke!
Wo ist der eine Euro geblieben?


Vermerk: diese Anekdote ist auch ein Beispiel für beliebte Testfragen von Personalverantwortlichen, mit denen sie den Scharfsinn und Einfallsreichtum der Bewerber erproben wollen.
Lösung

So weit das Auge reicht

Die Sommerschulferien haben schon vor zwei Wochen begonnen und die Möglichkeiten, den Kontakt mit der Natur zu genießen und sich dabei Überlegungen über Alltagsrätsel anszustellen, haben sich vervielfältigt...

Beim spazieren gehen durch den Landwirtschaftspark von Collserola (Sant Cugat del Valles, Barcelona) habe ich heute früh einige Fotos geknipst ........

Kornfeld beim Eingang zum Collserola Park

und mir dann die Frage gestellt, wie weit es wohl bis zum Horizont ist, wenn man auf einem ebenen Feldgelände steht oder am Meer ist und es weder atmosphärische Störungen noch massive Hindernisse (Bäume, Häuser, usw.) gibt, die die Sicht behindern, und wie sich diese unbehinderte Sichtweite ändern würde, wenn man das Horizont von einer höheren Beobachtungsstelle aus betrachten würde.

Sehr schöne unbehinderte Sichten hat man ja auch am Meer bzw. bei einer Schifffahrt, wenn die atmosphärische Bedingungen günstig sind....

Cap Roig an der Costa Brava

Eine Näherungsantwort zu meiner Fragestellung lässt sich mal wieder mit dem Satz des Pythagoras herleiten!
Hier eine kleine farbvolle Skizze um es zu veranschaulichen:

Die Erde ist nicht vollkommen rund, dennoch kann man sie für die annähernde Berechnung der Sichtweite als eine Kugel mit einem mittleren Radius von rund 6370 km identifizieren.

Die Sichtweite des Beobachters auf der Beobachtungsplattform (bzw. Abstand bis zum Horizont): x
Erdradius: r
Winkel zwischen x und r:  90º
Abstand des Beobachters vom Erdmittelpunkt: r + s    wobei s die Beobachtersichthöhe ist

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:        x² + r² = (r + s)²

und umgestellt nach x² erhält man:           x² = 2rs + r² = 2rs + s² = (2r + s) s

Da der Erdradius r sehr viel größer ist als die Beobachtersichthöhe s, kann man das s in der Klammer vernachlässigen und erhält:                      x² ≈ 2rs = 12.740 * s

Damit gilt für die Sichtweite (geometrische Entfernung) bis zum Horizont folgende einfache Formel:

                                                             x ≈ 113 * √¯s    [in km]

Im ebenen Gelände ist daher der Horizont bei 1,70 m = 0,0017 km Beobachtersichthöhe knapp 4,6 km entfernt. Ist man auf einer 30 m hohen Beobachtungsplattform (s = 0,03 km), dann hat man schon eine Sichtweite bis zum Horizont von fast 20 km!

In dieser annähernden Berechnung der geometrischen Entfernung bis zum Horizont sind allerdings keine Lichtbrechungseffekte in der Atmosphäre berücksichtigt worden, die je nach Wetterlage mehr oder minder stark sein können und die optische Sichtweite im Vergleich zur geometrischen Entfernung erheblich ändern können und in der Seefahrerwelt oft mit einem mittleren Faktor von ungefähr 1,1 berücksichtigt werden.

Bei Seefahrten bzw. am Meer kann man auch beobachten, dass man manchmal nur die Aufbauten anderer Schiffe sehen kann, die selbst aber hinter dem Horizont bleiben, oder nur die Bergspitzen einer entfernten Insel wie in der folgenden Skizze:

Wie weit kann man in diesem Fall sehen, wenn man im ebenen Gelände (ohne atmosphärische Störungen und ohne irgendwelche Lichtbrechungseffekte) von einem s Meter hohen Beobachtungspunkt einen b Meter hohen Berg sieht? Gibt es dafür auch eine einfache Formel? 

Blick vom Fabra-Observatorium (413 m, bei Collserola, Barcelona) auf die Bergumrisse der Insel Mallorca
Foto von Alfons Puertas Castro, 7. Dez. 2010 um 14 Uhr